直線 $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + 1$ とのなす角が $\frac{\pi}{4}$ である直線で、原点を通るものの、その方程式を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + 1$ とのなす角が $\frac{\pi}{4}$ である直線で、原点を通るものの、その方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線の傾きを $m_1$、求める直線の傾きを $m_2$ とします。

$m_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ です。

二直線のなす角 $\theta$ の公式は $\tan{\theta} = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ です。

問題文より $\theta = \frac{\pi}{4}$ なので $\tan{\frac{\pi}{4}} = 1$ です。

したがって、$1 = \left| \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - m_2}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}m_2} \right|$ となります。

絶対値を外すと、

$\frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - m_2}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}m_2} = 1$ または $\frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - m_2}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}m_2} = -1$

(i) $\frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - m_2}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}m_2} = 1$ のとき

$\frac{1}{\sqrt{3}} - m_2 = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}}m_2$

$\frac{1}{\sqrt{3}} - 1 = m_2 + \frac{1}{\sqrt{3}}m_2$

$\frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}m_2$

$m_2 = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(1-\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = -2 + \sqrt{3}$

(ii) $\frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - m_2}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}m_2} = -1$ のとき

$\frac{1}{\sqrt{3}} - m_2 = -1 - \frac{1}{\sqrt{3}}m_2$

$\frac{1}{\sqrt{3}} + 1 = m_2 - \frac{1}{\sqrt{3}}m_2$

$\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}m_2$

$m_2 = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

求める直線は原点を通るので、$y = m_2 x$ の形です。

3. 最終的な答え

$y = (-2 + \sqrt{3})x$ または $y = (2 + \sqrt{3})x$