## 問題の回答

## 問題の回答

### 問題２の内容

円 $x^2 + y^2 = 5$ 上の点 $P(-1, 2)$ における接線の方程式を求めます。

### 解き方の手順

1. 円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は、$x_1x + y_1y = r^2$ で表されます。

2. 今回の場合、$x_1 = -1$, $y_1 = 2$, $r^2 = 5$ ですので、接線の方程式は $-1 \cdot x + 2 \cdot y = 5$ となります。

3. 式を整理すると、$2y = x + 5$ となり、$y$ について解くと $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ となります。

この形式でも、元の形式$-x + 2y = 5$でも構いません。

### 最終的な答え

$-x + 2y = 5$

または

$y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

### 問題３の内容

円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = 2x - 5$ の共有点の座標を求めます。

### 解き方の手順

1. 直線の方程式 $y = 2x - 5$ を円の方程式 $x^2 + y^2 = 25$ に代入します。

$x^2 + (2x - 5)^2 = 25$

2. 式を展開して整理します。

$x^2 + 4x^2 - 20x + 25 = 25$

$5x^2 - 20x = 0$

3. $x$ について解きます。

$5x(x - 4) = 0$

$x = 0$ または $x = 4$

4. それぞれの $x$ の値に対応する $y$ の値を求めます。

- $x = 0$ のとき、$y = 2(0) - 5 = -5$

- $x = 4$ のとき、$y = 2(4) - 5 = 3$

5. したがって、共有点の座標は $(0, -5)$ と $(4, 3)$ です。

### 最終的な答え

$(0, -5)$, $(4, 3)$

### 問題４の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = x + m$ が共有点をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

### 解き方の手順

1. 直線の方程式 $y = x + m$ を円の方程式 $x^2 + y^2 = 1$ に代入します。

$x^2 + (x + m)^2 = 1$

2. 式を展開して整理します。

$x^2 + x^2 + 2mx + m^2 = 1$

$2x^2 + 2mx + m^2 - 1 = 0$

3. 円と直線が共有点を持つためには、この2次方程式が実数解を持つ必要があります。つまり、判別式 $D$ が $D \geq 0$ である必要があります。

4. 判別式 $D$ を計算します。

$D = (2m)^2 - 4(2)(m^2 - 1) = 4m^2 - 8m^2 + 8 = -4m^2 + 8$

5. $D \geq 0$ より、

$-4m^2 + 8 \geq 0$

$4m^2 \leq 8$

$m^2 \leq 2$

6. したがって、$-\sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}$ となります。

### 最終的な答え

$-\sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}$