2点 $(2, -2)$ と $(6, 2)$ を直径の両端とする円の方程式を求めます。

## (2)の問題

1. 問題の内容

2点 $(2, -2)$ と $(6, 2)$ を直径の両端とする円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

* 円の中心は、直径の両端の中点です。中点の座標は、各座標の平均を取ることで求められます。

$中心のx座標 = \frac{2 + 6}{2} = 4$

$中心のy座標 = \frac{-2 + 2}{2} = 0$

したがって、円の中心は $(4, 0)$ です。

* 円の半径は、中心と直径の端点の距離です。点 $(2, -2)$ と中心 $(4, 0)$ の距離を求めます。

$半径 = \sqrt{(4 - 2)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

* 円の方程式は、中心 $(h, k)$、半径 $r$ を用いて、 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ で表されます。

この問題の場合、中心は $(4, 0)$、半径は $2\sqrt{2}$ なので、方程式は $(x - 4)^2 + (y - 0)^2 = (2\sqrt{2})^2$ となります。

$(x - 4)^2 + y^2 = 8$

3. 最終的な答え

$(x - 4)^2 + y^2 = 8$

## (3)の問題

1. 問題の内容

3点 $(1, 0)$, $(2, -1)$, $(3, -3)$ を通る円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

* 円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおきます。

* 3つの点の座標をそれぞれ代入し、3つの未知数 $l, m, n$ に関する3つの連立方程式を立てます。

* $(1, 0)$ を代入: $1^2 + 0^2 + l(1) + m(0) + n = 0$ -> $1 + l + n = 0$ -> $l + n = -1$ ...(1)

* $(2, -1)$ を代入: $2^2 + (-1)^2 + l(2) + m(-1) + n = 0$ -> $4 + 1 + 2l - m + n = 0$ -> $2l - m + n = -5$ ...(2)

* $(3, -3)$ を代入: $3^2 + (-3)^2 + l(3) + m(-3) + n = 0$ -> $9 + 9 + 3l - 3m + n = 0$ -> $3l - 3m + n = -18$ ...(3)

* 連立方程式を解きます。

(2) - (1): $(2l - m + n) - (l + n) = -5 - (-1)$ -> $l - m = -4$ ...(4)

(3) - (2): $(3l - 3m + n) - (2l - m + n) = -18 - (-5)$ -> $l - 2m = -13$ ...(5)

(5) - (4): $(l - 2m) - (l - m) = -13 - (-4)$ -> $-m = -9$ -> $m = 9$

(4) に $m = 9$ を代入: $l - 9 = -4$ -> $l = 5$

(1) に $l = 5$ を代入: $5 + n = -1$ -> $n = -6$

* 求めた $l, m, n$ を円の方程式に代入します。

$x^2 + y^2 + 5x + 9y - 6 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 + 5x + 9y - 6 = 0$

## (4)の問題

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ と外接し、中心が点 $(-3, 4)$ である円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

* 円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心は $(0, 0)$、半径は $1$ です。

* 求める円の中心は $(-3, 4)$ です。求める円の半径を $r$ とします。

* 2つの円が外接するということは、中心間の距離が半径の和に等しいということです。

* 中心間の距離を求めます。

$\sqrt{(-3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

* 半径の和は $1 + r$ です。したがって、$5 = 1 + r$ より、$r = 4$ です。

* 求める円の中心は $(-3, 4)$、半径は $4$ なので、方程式は $(x - (-3))^2 + (y - 4)^2 = 4^2$ となります。

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$

3. 最終的な答え

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$