直線 $x=1$ に関して、放物線 $y = x^2 - 4x - 5$ と対称な放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $x=1$ に関して、放物線 $y = x^2 - 4x - 5$ と対称な放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

直線 $x=1$ に関して対称な点の座標を考えます。

点 $(x, y)$ と直線 $x=1$ に関して対称な点の座標を $(x', y')$ とすると、

$x'$ は $x$ と $x=1$ に関して対称なので、

$x' = 1 - (x - 1) = 2 - x$

したがって $x = 2 - x'$

$y'$ は $y$ と同じなので、$y' = y$

元の放物線の方程式 $y = x^2 - 4x - 5$ に、$x = 2 - x'$ と $y = y'$ を代入します。

$y' = (2 - x')^2 - 4(2 - x') - 5$

$y' = 4 - 4x' + x'^2 - 8 + 4x' - 5$

$y' = x'^2 - 9$

したがって、直線 $x=1$ に関して放物線 $y = x^2 - 4x - 5$ と対称な放物線の方程式は、$y = x^2 - 9$ となります。

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 9$