レモンスターと呼ばれるパッチワークの模様について、合同なひし形、正方形、三角形が組み合わさってできている。ひし形の1辺の長さを1としたとき、この模様全体の正方形の1辺の長さを求める。

1. 問題の内容

レモンスターと呼ばれるパッチワークの模様について、合同なひし形、正方形、三角形が組み合わさってできている。ひし形の1辺の長さを1としたとき、この模様全体の正方形の1辺の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、模様の中心から伸びるひし形を考える。ひし形の1辺の長さは1である。

正方形の一辺は、ひし形の辺、直角二等辺三角形の斜辺、ひし形の辺で構成される。

中心の正方形の辺の長さは、ひし形の辺の長さに等しいので1。

ひし形と正方形の間にある三角形は、直角二等辺三角形である。

この直角二等辺三角形の斜辺は、ひし形の辺と一致するため、長さは1である。

直角二等辺三角形の斜辺が1のとき、その直角を挟む辺の長さは、三平方の定理から $a^2 + a^2 = 1^2$を満たす。

$2a^2 = 1$

$a^2 = \frac{1}{2}$

$a = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、直角二等辺三角形の直角を挟む辺の長さは $\frac{\sqrt{2}}{2}$ である。

模様全体の正方形の1辺の長さは、ひし形の辺の長さ1、直角二等辺三角形の斜辺の長さ1、中心の正方形の辺の長さ1を足したものに等しい。

したがって、模様全体の正方形の1辺の長さは $1 + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 1+ \sqrt{2}$である。

模様全体の正方形の1辺の長さは、$1 + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \times 2 = 2 + \sqrt{2}$となる。

正方形の一辺は、ひし形の一辺、正方形の一辺、直角二等辺三角形の一辺で構成される。直角二等辺三角形の斜辺がひし形の一辺と等しいので、直角を挟む二辺の長さは $\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる。したがって正方形の一辺は $1+1+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$ となり、$2+\sqrt{2}$ となる。

3. 最終的な答え

$2 + \sqrt{2}$