3点 A(2, 1), B(6, 3), C(4, -1) について、ベクトル $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CA}$ の成分表示を求め、それぞれのベクトルの大きさを求めよ。

1. 問題の内容

3点 A(2, 1), B(6, 3), C(4, -1) について、ベクトル $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CA}$ の成分表示を求め、それぞれのベクトルの大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、ベクトルの成分表示を求める。$\overrightarrow{AB} = (Bのx座標 - Aのx座標, Bのy座標 - Aのy座標)$ という公式を使う。同様に、$\overrightarrow{BC}$と$\overrightarrow{CA}$も計算する。

次に、ベクトルの大きさを求める。ベクトルの大きさは $\sqrt{(x成分)^2 + (y成分)^2}$ で計算できる。

$\overrightarrow{AB} = (6-2, 3-1) = (4, 2)$

$\overrightarrow{BC} = (4-6, -1-3) = (-2, -4)$

$\overrightarrow{CA} = (2-4, 1-(-1)) = (-2, 2)$

$\left| \overrightarrow{AB} \right| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$\left| \overrightarrow{BC} \right| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$\left| \overrightarrow{CA} \right| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AB} = (4, 2)$, $\left| \overrightarrow{AB} \right| = 2\sqrt{5}$

$\overrightarrow{BC} = (-2, -4)$, $\left| \overrightarrow{BC} \right| = 2\sqrt{5}$

$\overrightarrow{CA} = (-2, 2)$, $\left| \overrightarrow{CA} \right| = 2\sqrt{2}$