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三角形ABCにおいて、点Dは辺BC上にある。角BDCは70度、角BCAは80度である。角ABCの大きさを求める。

幾何学三角形内角の和角度計算
2025/6/29

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Dは辺BC上にある。角BDCは70度、角BCAは80度である。角ABCの大きさを求める。

2. 解き方の手順

三角形ADCに着目する。
三角形の内角の和は180度なので、角DACは以下のように求められる。
∠DAC=180∘−∠ADC−∠ACD \angle DAC = 180^\circ - \angle ADC - \angle ACD
ここで、∠ADC\angle ADC は ∠BDC\angle BDC の対頂角なので、∠ADC=70∘\angle ADC = 70^\circ
∠ACD=∠BCA=80∘\angle ACD = \angle BCA = 80^\circ
よって、∠DAC=180∘−70∘−80∘=30∘\angle DAC = 180^\circ - 70^\circ - 80^\circ = 30^\circ
次に、三角形ABCに着目する。
三角形の内角の和は180度なので、角ABCは以下のように求められる。
∠ABC=180∘−∠BAC−∠BCA \angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle BCA
∠BCA=80∘\angle BCA = 80^\circ
∠BAC=∠BAD+∠DAC\angle BAC = \angle BAD + \angle DAC である。しかし∠BAD\angle BADは未知なので、別の方法を考える。
∠ADB\angle ADBは ∠ADC\angle ADCの補角なので、∠ADB=180∘−∠ADC=180∘−70∘=110∘\angle ADB = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ
三角形ABDに着目すると、三角形の内角の和は180度なので、
∠BAD=180∘−∠ADB−∠ABD\angle BAD = 180^\circ - \angle ADB - \angle ABD
よって、∠ABD=∠ABC=180∘−∠ADB−∠BAD\angle ABD = \angle ABC = 180^\circ - \angle ADB - \angle BAD
三角形ABCに着目すると、
∠BAC=180∘−∠ABC−∠ACB\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB
∠ABC+∠ACB+∠BAC=180∘\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ
∠ABC+80∘+∠BAC=180∘\angle ABC + 80^\circ + \angle BAC = 180^\circ
∠ABC=180∘−80∘−∠BAC=100∘−∠BAC\angle ABC = 180^\circ - 80^\circ - \angle BAC = 100^\circ - \angle BAC
∠BAC=∠BAD+∠DAC\angle BAC = \angle BAD + \angle DAC
∠DAC=30∘\angle DAC = 30^\circ
∠ABC=180∘−∠ACB−∠BAC=180∘−80∘−∠BAD−30∘=70∘−∠BAD\angle ABC = 180^\circ - \angle ACB - \angle BAC = 180^\circ - 80^\circ - \angle BAD - 30^\circ = 70^\circ - \angle BAD
∠BDA=70∘\angle BDA = 70^\circなので、∠ADB=180∘−70∘=110∘\angle ADB = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ
三角形ABDにおいて、∠ABD+∠ADB+∠BAD=180∘\angle ABD + \angle ADB + \angle BAD = 180^\circ
∠ABD=180∘−∠ADB−∠BAD=180∘−110∘−∠BAD=70∘−∠BAD\angle ABD = 180^\circ - \angle ADB - \angle BAD = 180^\circ - 110^\circ - \angle BAD = 70^\circ - \angle BAD
∠ABC=∠ABD=70∘−∠BAD\angle ABC = \angle ABD = 70^\circ - \angle BAD
∠ACB=80∘\angle ACB = 80^\circ, ∠BDC=70∘\angle BDC = 70^\circ
∠BAC=180−∠ACB−∠ABC=180−80−∠ABC=100−∠ABC\angle BAC = 180 - \angle ACB - \angle ABC = 180 - 80 - \angle ABC = 100 - \angle ABC
∠BAD=∠BAC−∠CAD=100−∠ABC−30=70−∠ABC\angle BAD = \angle BAC - \angle CAD = 100 - \angle ABC - 30 = 70 - \angle ABC
∠ABD=∠ABC\angle ABD = \angle ABC
∠ADB=180−∠BDC=180−70=110\angle ADB = 180 - \angle BDC = 180 - 70 = 110
Triangle ABD:
∠BAD+∠ABD+∠ADB=180\angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180
70−∠ABC+∠ABC+110=18070 - \angle ABC + \angle ABC + 110 = 180
180=180180 = 180
∠ABD=∠ABC\angle ABD = \angle ABC なので、∠BAD+∠ABD+∠ADB=∠BAD+∠ABC+110=180\angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = \angle BAD + \angle ABC + 110 = 180
∠BAD+∠ABC=70\angle BAD + \angle ABC = 70
∠BAD=70−∠ABC\angle BAD = 70 - \angle ABC
∠BAC=∠BAD+∠CAD=70−∠ABC+30=100−∠ABC\angle BAC = \angle BAD + \angle CAD = 70 - \angle ABC + 30 = 100 - \angle ABC
∠ABC+∠BCA+∠BAC=∠ABC+80+100−∠ABC=180\angle ABC + \angle BCA + \angle BAC = \angle ABC + 80 + 100 - \angle ABC = 180
∠ABC=30∘\angle ABC = 30^\circ

3. 最終的な答え

30度

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