三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{5} = \frac{\sin B}{4} = \frac{\sin C}{2}$が成り立つとき、この三角形の最も小さい角を$\theta$とする。このとき、$\cos \theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{5} = \frac{\sin B}{4} = \frac{\sin C}{2}$が成り立つとき、この三角形の最も小さい角を$\theta$とする。このとき、$\cos \theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$である。

与えられた条件から、$\sin A : \sin B : \sin C = 5 : 4 : 2$となるので、$a : b : c = 5 : 4 : 2$となる。

したがって、$a=5k, b=4k, c=2k$（$k$は正の定数）とおける。

三角形の最も小さい角は、最も短い辺の対角であるから、$\theta = C$である。

$\cos C$を余弦定理を用いて求める。

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

$\cos C = \frac{(5k)^2 + (4k)^2 - (2k)^2}{2(5k)(4k)}$

$\cos C = \frac{25k^2 + 16k^2 - 4k^2}{40k^2}$

$\cos C = \frac{37k^2}{40k^2}$

$\cos C = \frac{37}{40}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{37}{40}$