ひし形ABCDが与えられており、AB=2、∠A=60°とする。以下の内積を求めよ。 (1) $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{DC}$ (2) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB}$

1. 問題の内容

ひし形ABCDが与えられており、AB=2、∠A=60°とする。以下の内積を求めよ。

(1) $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{DC}$

(2) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB}$

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{DC}$

ひし形なので、$AD = DC = AB = 2$である。

$\overrightarrow{AD}$と$\overrightarrow{DC}$のなす角は∠ADCである。ひし形の性質から、∠ADC = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°。

内積の定義より、

$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{DC} = |AD| |DC| \cos{120^\circ} = 2 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2$

(2) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB}$

座標を導入して考えます。Aを原点とし、$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{d}$ とします。

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \vec{b} + \vec{d}$

$\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \vec{b} - \vec{d}$

よって、$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} = (\vec{b} + \vec{d}) \cdot (\vec{b} - \vec{d}) = |\vec{b}|^2 - |\vec{d}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 - |\overrightarrow{AD}|^2 + \vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{d}$

$= |\vec{b}|^2 - |\vec{d}|^2 = 2^2 - 2^2 = 0$

別解として、$|\vec{b}+\vec{d}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{d}|^2 + 2\vec{b} \cdot \vec{d}$を用いる。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 + 2 AB \cdot BC \cos{60^\circ} = 2^2 + 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 4 + 4 + 4 = 12$

$AC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$DB^2 = AD^2 + AB^2 - 2 AD \cdot AB \cos{60^\circ} = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 4+4-4 = 4$

$DB = \sqrt{4} = 2$

ひし形なので、$AC \perp DB$ 。よって、$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{DC} = -2$

(2) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} = 0$