円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = x + 3$ の共有点の個数を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = x + 3$ の共有点の個数を求める。

2. 解き方の手順

円の中心から直線までの距離 $d$ を求め、円の半径 $r$ と比較する。

- $d < r$ のとき、共有点は2個

- $d = r$ のとき、共有点は1個

- $d > r$ のとき、共有点は0個

まず、円 $x^2 + y^2 = 4$ の中心は $(0, 0)$、半径は $r = \sqrt{4} = 2$ である。

次に、直線 $y = x + 3$ を $x - y + 3 = 0$ と変形する。

点 $(0, 0)$ から直線 $x - y + 3 = 0$ までの距離 $d$ は、点と直線の距離の公式を用いて計算できる。

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

ここで、$A = 1, B = -1, C = 3, x_0 = 0, y_0 = 0$ であるから、

$d = \frac{|1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|3|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$

$d = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

ここで、$r = 2$ なので、$d$ と $r$ の大小を比較する。

$\frac{3\sqrt{2}}{2} \approx \frac{3 \cdot 1.414}{2} \approx \frac{4.242}{2} \approx 2.121$

したがって、$d = \frac{3\sqrt{2}}{2} > 2 = r$ である。

3. 最終的な答え

共有点の個数は0個