座標平面上に円 $K: x^2 + y^2 - 10x - 2ay + a^2 = 0$ と直線 $l: 3x - 4y - 18 = 0$ がある。ただし、$a$ は正の定数である。 (1) $a = 1$ のとき、円 $K$ の中心の座標と半径を求める。 (2) 直線 $l$ と $x$ 軸の交点を通り、直線 $l$ に垂直な直線 $m$ の方程式を求める。また、円 $K$ の中心が直線 $m$ 上にあるとき、$a$ の値を求める。 (3) 直線 $l$ と円 $K$ が接するとき、$a$ の値を求める。また、このとき、円 $K$ が(2)で求めた直線 $m$ から切り取る線分の長さを求める。

1. 問題の内容

座標平面上に円 $K: x^2 + y^2 - 10x - 2ay + a^2 = 0$ と直線 $l: 3x - 4y - 18 = 0$ がある。ただし、$a$ は正の定数である。

(1) $a = 1$ のとき、円 $K$ の中心の座標と半径を求める。

(2) 直線 $l$ と $x$ 軸の交点を通り、直線 $l$ に垂直な直線 $m$ の方程式を求める。また、円 $K$ の中心が直線 $m$ 上にあるとき、$a$ の値を求める。

(3) 直線 $l$ と円 $K$ が接するとき、$a$ の値を求める。また、このとき、円 $K$ が(2)で求めた直線 $m$ から切り取る線分の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $K$ の方程式を平方完成する。

$x^2 - 10x + y^2 - 2ay + a^2 = 0$

$(x - 5)^2 - 25 + (y - a)^2 - a^2 + a^2 = 0$

$(x - 5)^2 + (y - a)^2 = 25$

したがって、円 $K$ の中心は $(5, a)$ であり、半径は $5$ である。

$a = 1$ のとき、円 $K$ の中心は $(5, 1)$ であり、半径は $5$ である。

(2) 直線 $l: 3x - 4y - 18 = 0$ と $x$ 軸の交点は、 $y = 0$ を代入して $3x - 18 = 0$ より $x = 6$。 よって、交点は $(6, 0)$ である。

直線 $l$ の傾きは $\frac{3}{4}$ であるから、直線 $l$ に垂直な直線 $m$ の傾きは $-\frac{4}{3}$ である。

よって、直線 $m$ の方程式は、

$y = -\frac{4}{3}(x - 6)$

$y = -\frac{4}{3}x + 8$

$3y = -4x + 24$

$4x + 3y - 24 = 0$

円 $K$ の中心 $(5, a)$ が直線 $m: 4x + 3y - 24 = 0$ 上にあるとき、

$4(5) + 3a - 24 = 0$

$20 + 3a - 24 = 0$

$3a = 4$

$a = \frac{4}{3}$

(3) 直線 $l: 3x - 4y - 18 = 0$ と円 $K: (x - 5)^2 + (y - a)^2 = 25$ が接するとき、円 $K$ の中心 $(5, a)$ と直線 $l$ との距離が半径 $5$ に等しい。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|3(5) - 4a - 18|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 5$

$\frac{|15 - 4a - 18|}{5} = 5$

$|-4a - 3| = 25$

$-4a - 3 = 25$ または $-4a - 3 = -25$

$-4a = 28$ または $-4a = -22$

$a = -7$ または $a = \frac{11}{2}$

$a > 0$ より $a = \frac{11}{2}$

このとき、円 $K$ の中心は $(5, \frac{11}{2})$ であり、直線 $m$ の方程式は $4x + 3y - 24 = 0$ である。

円 $K: (x - 5)^2 + (y - \frac{11}{2})^2 = 25$ と直線 $m: 4x + 3y - 24 = 0$ の交点を求める。

$3y = -4x + 24$

$y = -\frac{4}{3}x + 8$

$(x - 5)^2 + (-\frac{4}{3}x + 8 - \frac{11}{2})^2 = 25$

$(x - 5)^2 + (-\frac{4}{3}x + \frac{5}{2})^2 = 25$

$x^2 - 10x + 25 + \frac{16}{9}x^2 - \frac{20}{3}x + \frac{25}{4} = 25$

$\frac{25}{9}x^2 - \frac{50}{3}x + \frac{25}{4} = 0$

$\frac{1}{9}x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{4} = 0$

$4x^2 - 24x + 9 = 0$

$x = \frac{24 \pm \sqrt{24^2 - 4(4)(9)}}{8} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 144}}{8} = \frac{24 \pm \sqrt{432}}{8} = \frac{24 \pm 12\sqrt{3}}{8} = 3 \pm \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$x_1 = 3 + \frac{3\sqrt{3}}{2}, x_2 = 3 - \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$y_1 = -\frac{4}{3}(3 + \frac{3\sqrt{3}}{2}) + 8 = -4 - 2\sqrt{3} + 8 = 4 - 2\sqrt{3}$

$y_2 = -\frac{4}{3}(3 - \frac{3\sqrt{3}}{2}) + 8 = -4 + 2\sqrt{3} + 8 = 4 + 2\sqrt{3}$

交点 $A(3 + \frac{3\sqrt{3}}{2}, 4 - 2\sqrt{3})$ 、 $B(3 - \frac{3\sqrt{3}}{2}, 4 + 2\sqrt{3})$

線分ABの長さ = $\sqrt{((3 + \frac{3\sqrt{3}}{2}) - (3 - \frac{3\sqrt{3}}{2}))^2 + ((4 - 2\sqrt{3}) - (4 + 2\sqrt{3}))^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (-4\sqrt{3})^2} = \sqrt{27 + 48} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) 円Kの中心：(5, 1)、半径：5

(2) 直線m：4x + 3y - 24 = 0、a = 4/3

(3) a = 11/2、線分の長さ = $5\sqrt{3}$