空間内の異なる2つの直線 $l, m$ と異なる2つの平面 $P, Q$ について、以下の3つの記述の中から常に正しいものを選ぶ問題です。 (1) $l \perp P$, $l // Q$ のとき、$P \perp Q$ である。 (2) $l // P$, $l // Q$ のとき、$P // Q$ である。 (3) $l // P$, $m // Q$, $P \perp Q$ のとき、$l // m$ である。

1. 問題の内容

空間内の異なる2つの直線 $l, m$ と異なる2つの平面 $P, Q$ について、以下の3つの記述の中から常に正しいものを選ぶ問題です。

(1) $l \perp P$, $l // Q$ のとき、$P \perp Q$ である。

(2) $l // P$, $l // Q$ のとき、$P // Q$ である。

(3) $l // P$, $m // Q$, $P \perp Q$ のとき、$l // m$ である。

2. 解き方の手順

それぞれの記述について、反例を考え、それが存在するかどうかを検証します。

(1) $l \perp P$, $l // Q$ のとき、$P \perp Q$ である。

直線 $l$ が平面 $P$ に垂直で、平面 $Q$ に平行であるとき、$P$ と $Q$ が垂直かどうかを考えます。

$l$ が $P$ に垂直なので、$P$ の法線ベクトルは $l$ の方向ベクトルと同じです。また、$l$ が $Q$ に平行なので、$l$ の方向ベクトルは $Q$ の法線ベクトルと垂直です。したがって、$P$ の法線ベクトルと $Q$ の法線ベクトルは垂直なので、$P \perp Q$ が成り立ちます。

(2) $l // P$, $l // Q$ のとき、$P // Q$ である。

直線 $l$ が平面 $P$ と平面 $Q$ の両方に平行なとき、$P$ と $Q$ が平行かどうかを考えます。これは、$P$ と $Q$ が平行とは限らないので、正しくありません。例えば、$P$ と $Q$ が交わる場合でも、$l$ が $P$ と $Q$ の交線に平行であれば、$l // P$ かつ $l // Q$ となります。

(3) $l // P$, $m // Q$, $P \perp Q$ のとき、$l // m$ である。

直線 $l$ が平面 $P$ に平行、直線 $m$ が平面 $Q$ に平行で、$P \perp Q$ のとき、$l // m$ かどうかを考えます。これは、$l$ と $m$ が平行とは限らないので、正しくありません。例えば、$l$ が $P$ 内の直線、$m$ が $Q$ 内の直線で、$l$ と $m$ がねじれの位置にある場合でも、$l // P$ かつ $m // Q$ となります。

3. 最終的な答え

常に正しい記述は (1) です。