正四面体ABCDの頂点Aに集まる3つの辺AB, AC, ADの中点L, M, Nを通る平面で、頂点Aの角を切り取る。同様に、他の3つの頂点の角も切り取って立体を作る。 (1) この立体の名称を答える。 (2) 正四面体ABCDの体積を$V$とするとき、この立体の体積を$V$を用いて表す。

1. 問題の内容

正四面体ABCDの頂点Aに集まる3つの辺AB, AC, ADの中点L, M, Nを通る平面で、頂点Aの角を切り取る。同様に、他の3つの頂点の角も切り取って立体を作る。

(1) この立体の名称を答える。

(2) 正四面体ABCDの体積を$V$とするとき、この立体の体積を$V$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

正四面体の各頂点を切り取った後の立体の名称を考える。各頂点は正三角形で切り取られるため、残った立体は正八面体となる。

(2)

正四面体ABCDの体積を$V$とする。

切り取られる正四面体は、元の正四面体の各辺の長さの半分を持つ。したがって、切り取られる正四面体の体積は、元の正四面体の体積の$\frac{1}{8}$である。

切り取られる正四面体は4つあるので、切り取られる正四面体の体積の合計は、$\frac{1}{8}V \times 4 = \frac{1}{2}V$となる。

したがって、残った立体の体積は、元の正四面体の体積から切り取られた正四面体の体積を引いたものである。

よって、残った立体の体積は$V - \frac{1}{2}V = \frac{1}{2}V$となる。

3. 最終的な答え

(1) 正八面体

(2) $\frac{1}{2}V$