問題は、$\theta$の動径が第3象限にあり、$\cos{\theta} = -\frac{2}{3}$のとき、$\sin{\theta}$と$\tan{\theta}$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、$\theta$の動径が第3象限にあり、$\cos{\theta} = -\frac{2}{3}$のとき、$\sin{\theta}$と$\tan{\theta}$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$という三角関数の基本的な関係式を利用します。

$\cos{\theta}$の値が与えられているので、この式に代入して$\sin{\theta}$を求めます。

$\sin^2{\theta} + (-\frac{2}{3})^2 = 1$

$\sin^2{\theta} + \frac{4}{9} = 1$

$\sin^2{\theta} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\sin{\theta} = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}$

$\theta$の動径は第3象限にあるので、$\sin{\theta}$は負の値をとります。

したがって、$\sin{\theta} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$です。

次に、$\tan{\theta}$を求めます。$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$という関係式を利用します。

$\tan{\theta} = \frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin{\theta} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan{\theta} = \frac{\sqrt{5}}{2}$