問題5：$xy$平面において、点$(2, 1)$を通り、$x$軸と$y$軸に接する円の半径$r$の値を求める。 問題7：次の角を(1), (2)は弧度法で、(3), (4)は度数法で表す。 (1) $45^{\circ}$ (2) $-240^{\circ}$ (3) $\frac{11}{6}\pi$ (4) $-\frac{7}{12}\pi$ 問題8：半径が5、中心角が$\frac{\pi}{4}$である扇形について、(1)弧の長さ、(2)面積を求める。

1. 問題の内容

問題5：$xy$平面において、点$(2, 1)$を通り、$x$軸と$y$軸に接する円の半径$r$の値を求める。

問題7：次の角を(1), (2)は弧度法で、(3), (4)は度数法で表す。

(1) $45^{\circ}$ (2) $-240^{\circ}$ (3) $\frac{11}{6}\pi$ (4) $-\frac{7}{12}\pi$

問題8：半径が5、中心角が$\frac{\pi}{4}$である扇形について、(1)弧の長さ、(2)面積を求める。

2. 解き方の手順

問題5：

円が$x$軸と$y$軸に接するため、円の中心は$(r, r)$または$(-r, r)$または$(r, -r)$または$(-r, -r)$となる。ただし、$r$は半径。

点$(2, 1)$を通るので、

$(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$に$(2, 1)$を代入して、

$(2-r)^2 + (1-r)^2 = r^2$

$4 - 4r + r^2 + 1 - 2r + r^2 = r^2$

$r^2 - 6r + 5 = 0$

$(r-5)(r-1) = 0$

$r=5, 1$

また、

$(x+r)^2 + (y-r)^2 = r^2$に$(2, 1)$を代入して、

$(2+r)^2 + (1-r)^2 = r^2$

$4 + 4r + r^2 + 1 - 2r + r^2 = r^2$

$r^2 + 2r + 5 = 0$

解なし

$(x-r)^2 + (y+r)^2 = r^2$に$(2, 1)$を代入して、

$(2-r)^2 + (1+r)^2 = r^2$

$4 - 4r + r^2 + 1 + 2r + r^2 = r^2$

$r^2 - 2r + 5 = 0$

解なし

$(x+r)^2 + (y+r)^2 = r^2$に$(2, 1)$を代入して、

$(2+r)^2 + (1+r)^2 = r^2$

$4 + 4r + r^2 + 1 + 2r + r^2 = r^2$

$r^2 + 6r + 5 = 0$

$(r+5)(r+1)=0$

$r=-5, -1$

$r>0$より不適

問題7：

(1) $45^{\circ} = 45 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$

(2) $-240^{\circ} = -240 \times \frac{\pi}{180} = -\frac{4}{3}\pi$

(3) $\frac{11}{6}\pi = \frac{11}{6}\pi \times \frac{180}{\pi} = 11 \times 30 = 330^{\circ}$

(4) $-\frac{7}{12}\pi = -\frac{7}{12}\pi \times \frac{180}{\pi} = -7 \times 15 = -105^{\circ}$

問題8：

(1) 弧の長さ $l = r\theta = 5 \times \frac{\pi}{4} = \frac{5}{4}\pi$

(2) 面積 $S = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2} \times 5^2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{25}{8}\pi$

3. 最終的な答え

問題5：$r = 1, 5$

問題7：(1) $\frac{\pi}{4}$ (2) $-\frac{4}{3}\pi$ (3) $330^{\circ}$ (4) $-105^{\circ}$

問題8：(1) $\frac{5}{4}\pi$ (2) $\frac{25}{8}\pi$