三角形ABCにおいて、辺BC上に点Dがあり、BD:DC = 3:2である。 (1) 三角形ABDと三角形ADCの面積比を求める。 (2) 線分ADを5:2に内分する点をPとするとき、三角形PAB, 三角形PBC, 三角形PCAの面積比を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BC上に点Dがあり、BD:DC = 3:2である。

(1) 三角形ABDと三角形ADCの面積比を求める。

(2) 線分ADを5:2に内分する点をPとするとき、三角形PAB, 三角形PBC, 三角形PCAの面積比を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABDと三角形ADCの面積比について

三角形ABDと三角形ADCは、頂点Aを共有し、底辺がそれぞれBDとDCである。高さは共通なので、面積比は底辺の比に等しい。

したがって、

$\triangle ABD : \triangle ADC = BD : DC = 3:2$

(2) 三角形PAB, 三角形PBC, 三角形PCAの面積比について

点Pは線分ADを5:2に内分する点なので、AP:PD = 5:2である。

まず、三角形ABCの面積をSとする。

$\triangle ABD = \frac{3}{5} S$

$\triangle ADC = \frac{2}{5} S$

次に、点Pは線分ADを5:2に内分するので、

$\triangle PBD = \frac{2}{7} \triangle ABD = \frac{2}{7} \cdot \frac{3}{5} S = \frac{6}{35} S$

$\triangle PCD = \frac{2}{7} \triangle ADC = \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{5} S = \frac{4}{35} S$

$\triangle PAB = \frac{5}{7} \triangle ABD = \frac{5}{7} \cdot \frac{3}{5} S = \frac{3}{7} S$

$\triangle PAC = \frac{5}{7} \triangle ADC = \frac{5}{7} \cdot \frac{2}{5} S = \frac{2}{7} S$

ここで、

$\triangle PBC = \triangle PBD + \triangle PCD = \frac{6}{35} S + \frac{4}{35} S = \frac{10}{35} S = \frac{2}{7} S$

したがって、

$\triangle PAB : \triangle PBC : \triangle PCA = \frac{3}{7} S : \frac{2}{7} S : \frac{2}{7} S = 3:2:2$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ABD : \triangle ADC = 3:2$

(2) $\triangle PAB : \triangle PBC : \triangle PCA = 3:2:2$