三角形ABCにおいて、$AB=3$, $AC=2$, $\angle CAB=60^{\circ}$である。$\angle CAB$の二等分線と辺BCとの交点をDとするとき、線分ADの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=3$, $AC=2$, $\angle CAB=60^{\circ}$である。$\angle CAB$の二等分線と辺BCとの交点をDとするとき、線分ADの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 3:2$。したがって、$BD = \frac{3}{5}BC$。

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos{\angle CAB}$。

$BC^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cos{60^{\circ}} = 9 + 4 - 12 \cdot \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7$。

したがって、$BC = \sqrt{7}$。

ゆえに、$BD = \frac{3}{5} \sqrt{7}$。

次に、$\triangle ABD$において余弦定理より、$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2AB \cdot BD \cos{\angle ABD}$。

また、$\triangle ABC$において、$\angle ABC$がわかればよい。

$\frac{\sin{\angle CAB}}{BC} = \frac{\sin{\angle ABC}}{AC}$より、$\frac{\sin{60^{\circ}}}{\sqrt{7}} = \frac{\sin{\angle ABC}}{2}$。

$\sin{\angle ABC} = \frac{2 \sin{60^{\circ}}}{\sqrt{7}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$。

この値から$\cos{\angle ABC}$を求めようとすると計算が大変になる。

面積を利用する解法を試みる。

$\triangle ABC = \triangle ABD + \triangle ADC$。

$\frac{1}{2}AB \cdot AC \sin{60^{\circ}} = \frac{1}{2}AB \cdot AD \sin{30^{\circ}} + \frac{1}{2}AD \cdot AC \sin{30^{\circ}}$。

$3 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \cdot AD \cdot \frac{1}{2} + AD \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}$。

$6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} AD + AD$。

$3 \sqrt{3} = \frac{5}{2} AD$。

$AD = \frac{6\sqrt{3}}{5}$。

3. 最終的な答え

$\frac{6\sqrt{3}}{5}$