直角二等辺三角形ABCの辺上に頂点を持つ長方形PQCRがある。QC = $x$ cmとしたとき、長方形の面積が6 cm$^2$以上12 cm$^2$以下となる$x$の範囲を求める。

1. 問題の内容

直角二等辺三角形ABCの辺上に頂点を持つ長方形PQCRがある。QC = $x$ cmとしたとき、長方形の面積が6 cm$^2$以上12 cm$^2$以下となる$x$の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、長方形の面積を$x$で表す。三角形ABCは直角二等辺三角形なので、AC = BCである。QC = $x$とすると、AQ = $x$となる。したがって、長方形の縦の長さは$x$である。

次に、長方形の横の長さを求める。直角二等辺三角形APQにおいて、AP = AQ = $x$である。したがって、PC = BC - BP = AC - AP となる。AC = BCであるから、BC = 任意の文字、例えば$a$とおくと、PC = $a - x$となる。長方形の横の長さはPCに等しいので、$a-x$となる。しかし、図からACの長さが不明であるため、解くことができない。

しかし、問題を解くための仮定として、AC = 6であると仮定する。そのとき、PC = 6 - xとなる。

長方形の面積は、縦の長さ$\times$横の長さで求められるので、長方形PQCRの面積は、$x(6-x)$となる。

長方形の面積が6 cm$^2$以上12 cm$^2$以下となる条件は、

$6 \le x(6-x) \le 12$

この不等式を解く。

まず、$6 \le x(6-x)$

$6 \le 6x - x^2$

$x^2 - 6x + 6 \le 0$

解の公式より、$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(6)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}$

したがって、$3 - \sqrt{3} \le x \le 3 + \sqrt{3}$

次に、$x(6-x) \le 12$

$6x - x^2 \le 12$

$x^2 - 6x + 12 \ge 0$

解の公式より、$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(12)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{-12}}{2}$

この2次方程式は実数解を持たない。$x^2 - 6x + 12 = (x-3)^2 + 3$であるから、常に正である。

よって、$x^2 - 6x + 12 \ge 0$は常に成立する。

したがって、$3 - \sqrt{3} \le x \le 3 + \sqrt{3}$となる。

$x > 0$かつ$6-x>0$より、$0 < x < 6$である必要がある。

$3 - \sqrt{3} \approx 3 - 1.732 = 1.268$

$3 + \sqrt{3} \approx 3 + 1.732 = 4.732$

したがって、$3 - \sqrt{3} \le x \le 3 + \sqrt{3}$は、$0 < x < 6$の条件を満たす。

3. 最終的な答え

$3 - \sqrt{3} \le x \le 3 + \sqrt{3}$

ただし、ACの長さが6であると仮定して解いた。ACの長さが不明であるため、問題文に不備がある可能性がある。