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一辺の長さが$\sqrt{2}$の正方形ABCDにおいて、次のベクトルの内積を求める。 (1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ (2) $\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OD}$ (3) $\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{BC}$ (4) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC}$

幾何学ベクトル内積正方形
2025/6/29

1. 問題の内容

一辺の長さが2\sqrt{2}の正方形ABCDにおいて、次のベクトルの内積を求める。
(1) AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
(2) OC→⋅OD→\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OD}
(3) OB→⋅BC→\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{BC}
(4) AB→⋅DC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC}

2. 解き方の手順

ベクトルの内積の定義：a→⋅b→=∣a→∣∣b→∣cos⁡θ\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos{\theta}
(1) AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
∣AB→∣=2|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2}
∣AC→∣=(2)2+(2)2=2+2=4=2|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2
AB→\overrightarrow{AB}とAC→\overrightarrow{AC}のなす角は45度。
よって、
AB→⋅AC→=∣AB→∣∣AC→∣cos⁡45∘=2⋅2⋅22=2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{45^\circ} = \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2
(2) OC→⋅OD→\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OD}
∣OC→∣=∣OD→∣=12AC=12⋅2=1|\overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{OD}| = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1
OC→\overrightarrow{OC}とOD→\overrightarrow{OD}のなす角は90度。
OC→⋅OD→=∣OC→∣∣OD→∣cos⁡90∘=1⋅1⋅0=0\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OD} = |\overrightarrow{OC}| |\overrightarrow{OD}| \cos{90^\circ} = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0
(3) OB→⋅BC→\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{BC}
∣OB→∣=1|\overrightarrow{OB}| = 1
∣BC→∣=2|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{2}
OB→\overrightarrow{OB}とBC→\overrightarrow{BC}のなす角は135度。
OB→⋅BC→=∣OB→∣∣BC→∣cos⁡135∘=1⋅2⋅(−22)=−1\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{OB}| |\overrightarrow{BC}| \cos{135^\circ} = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -1
(4) AB→⋅DC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC}
∣AB→∣=2|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2}
∣DC→∣=2|\overrightarrow{DC}| = \sqrt{2}
AB→\overrightarrow{AB}とDC→\overrightarrow{DC}は平行で向きが同じなので、なす角は0度。
AB→⋅DC→=∣AB→∣∣DC→∣cos⁡0∘=2⋅2⋅1=2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{DC}| \cos{0^\circ} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1 = 2

3. 最終的な答え

(1) AB→⋅AC→=2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2
(2) OC→⋅OD→=0\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OD} = 0
(3) OB→⋅BC→=−1\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{BC} = -1
(4) AB→⋅DC→=2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = 2

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