点Pが2点A(-1, 4), B(3, 2)から等距離にあるとする。 (1) 点Pがx軸上に存在する場合の点Pの座標を求める。 (2) 点Pの軌跡を求める。

幾何学座標平面軌跡距離方程式
2025/6/29

1. 問題の内容

点Pが2点A(-1, 4), B(3, 2)から等距離にあるとする。
(1) 点Pがx軸上に存在する場合の点Pの座標を求める。
(2) 点Pの軌跡を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Pがx軸上に存在するので、点Pの座標を(x, 0)とおく。
AP = BPより、AP^2 = BP^2となる。
AP^2 = (x(1))2+(04)2=(x+1)2+16(x - (-1))^2 + (0 - 4)^2 = (x + 1)^2 + 16
BP^2 = (x3)2+(02)2=(x3)2+4(x - 3)^2 + (0 - 2)^2 = (x - 3)^2 + 4
AP^2 = BP^2より、
(x+1)2+16=(x3)2+4(x + 1)^2 + 16 = (x - 3)^2 + 4
x2+2x+1+16=x26x+9+4x^2 + 2x + 1 + 16 = x^2 - 6x + 9 + 4
x2+2x+17=x26x+13x^2 + 2x + 17 = x^2 - 6x + 13
8x=48x = -4
x=12x = -\frac{1}{2}
したがって、点Pの座標は(12,0)(-\frac{1}{2}, 0)
(2) 点Pの座標を(x, y)とおく。
AP = BPより、AP^2 = BP^2となる。
AP^2 = (x(1))2+(y4)2=(x+1)2+(y4)2(x - (-1))^2 + (y - 4)^2 = (x + 1)^2 + (y - 4)^2
BP^2 = (x3)2+(y2)2(x - 3)^2 + (y - 2)^2
AP^2 = BP^2より、
(x+1)2+(y4)2=(x3)2+(y2)2(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2
x2+2x+1+y28y+16=x26x+9+y24y+4x^2 + 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4
x2+2x+y28y+17=x26x+y24y+13x^2 + 2x + y^2 - 8y + 17 = x^2 - 6x + y^2 - 4y + 13
8x4y+4=08x - 4y + 4 = 0
2xy+1=02x - y + 1 = 0

3. 最終的な答え

(1) 点Pの座標は (12,0)(-\frac{1}{2}, 0)
(2) 点Pの軌跡は 2xy+1=02x - y + 1 = 0

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