直線上の任意の点 $(x, y)$ が $(x, y) = (1-t)(1, 3) + t(2, 4)$ で表されるとき、$t$ を消去して $x$ と $y$ の関係式を求める。

1. 問題の内容

直線上の任意の点 $(x, y)$ が $(x, y) = (1-t)(1, 3) + t(2, 4)$ で表されるとき、$t$ を消去して $x$ と $y$ の関係式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられたベクトル表示を成分ごとに分解します。

$x = (1-t)(1) + t(2) = 1 - t + 2t = 1 + t$

$y = (1-t)(3) + t(4) = 3 - 3t + 4t = 3 + t$

これより、

$x = 1 + t$

$y = 3 + t$

という連立方程式が得られます。

この連立方程式から $t$ を消去します。

$x = 1 + t$ より、$t = x - 1$

これを $y = 3 + t$ に代入すると、

$y = 3 + (x - 1)$

$y = 3 + x - 1$

$y = x + 2$

したがって、$x - y + 2 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$x - y + 2 = 0$