右の図において、以下の線分の長さの比を求めます。 (1) BR : RC (2) BC : CS (3) AO : OR

1. 問題の内容

右の図において、以下の線分の長さの比を求めます。

(1) BR : RC

(2) BC : CS

(3) AO : OR

2. 解き方の手順

この問題を解くためには、チェバの定理とメネラウスの定理を利用します。

(1) BR : RC を求める

チェバの定理より、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CS}{SA} = 1$

$\frac{2}{4} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{3}{6} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{BR}{RC} = 4$

したがって、BR : RC = 4 : 1

(2) BC : CS を求める

BC = BR + RC なので、BR : RC = 4 : 1 より

BC = 5k (kは定数) とすると、BR = 4k, RC = k となる。

次に、メネラウスの定理を直線ASに関して適用すると、

$\frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} \cdot \frac{AQ}{QB} = 1$

メネラウスの定理を直線BSに関して適用すると、

$\frac{CS}{SA} \cdot \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RC}=1$

ただし、(1)でチェバの定理より$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CS}{SA} = 1$なので、メネラウスの定理を適用することはできない。

メネラウスの定理を直線PQSに関して適用すると、

$\frac{BS}{SC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AP}{PB}=1$

$\frac{BC+CS}{CS} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{2}{4}=1$

$\frac{5k+CS}{CS} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{1}{2}=1$

$\frac{5k+CS}{CS} \cdot \frac{CQ}{QA} = 2$

メネラウスの定理を直線ARSに関して適用すると、

$\frac{BR}{RC} \cdot \frac{CS}{SA} \cdot \frac{AO}{OB}=1$

4・(CS/6)・$\frac{AO}{OB}$＝1 なので、$\frac{AO}{OB}$＝$\frac{3}{2CS}$

メネラウスの定理を直線BQSに関して適用すると、

$\frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} \cdot \frac{AQ}{QB}=1$

メネラウスの定理を点S,線分ABに適用すると、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CS}{SA}=1$より

$\frac{4}{4+1} \cdot \frac{3}{3+6}=1$

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CS}{SA} = 1$

$\frac{2}{4} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CS}{6} = 1$

$\frac{BR}{RC} \cdot \frac{CS}{3} = 2$

BC : CS はわかりません。

(3) AO : OR を求める

メネラウスの定理を直線BCに関して適用すると、

$\frac{BS}{SC} \cdot \frac{CR}{RA} \cdot \frac{AQ}{QB} = 1$

3. 最終的な答え

(1) BR : RC = 4 : 1

(2) 解なし

(3) 解なし