平面上に $n$ 個の円がある。どの2つの円も異なる2点で交わり、どの3つの円も1点で交わらないとき、$n$ 個の円が平面を $a_n$ 個の部分に分ける。$a_n$ を $n$ の式で表せ。

1. 問題の内容

平面上に $n$ 個の円がある。どの2つの円も異なる2点で交わり、どの3つの円も1点で交わらないとき、$n$ 個の円が平面を $a_n$ 個の部分に分ける。$a_n$ を $n$ の式で表せ。

2. 解き方の手順

まず、$n=1, 2, 3$ の場合の $a_n$ の値を求めます。

- $n=1$ のとき、$a_1 = 2$ （円の内側と外側）

- $n=2$ のとき、$a_2 = 4$ （2つの円によって平面は4つの部分に分かれる）

- $n=3$ のとき、$a_3 = 8$ （3つ目の円は既存の2つの円とそれぞれ2点で交わるので、3つ目の円は4つの弧に分割され、それぞれの弧が新しい領域を作る）

$n$ 個の円があるとき、$n+1$ 個目の円を描くと、既存の $n$ 個の円とそれぞれ2点で交わる。つまり、$n+1$ 個目の円は $2n$ 個の交点を持つ。これらの交点によって、$n+1$ 個目の円は $2n$ 個の弧に分割され、それぞれの弧が新しい領域を1つずつ作る。したがって、$a_{n+1} = a_n + 2n$ という漸化式が得られる。

$a_{n+1} = a_n + 2n$ より、

$a_n = a_{n-1} + 2(n-1)$

$a_{n-1} = a_{n-2} + 2(n-2)$

...

$a_2 = a_1 + 2(1)$

これらの式を足し合わせると、

$a_n = a_1 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k = a_1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = a_1 + n(n-1)$

$a_1 = 2$ なので、$a_n = 2 + n(n-1) = n^2 - n + 2$

3. 最終的な答え

$a_n = n^2 - n + 2$