一辺が6cmの正方形ABCDがあり、点PはAから出発し、毎秒1cmの速さで辺AB、BC、CD上をDまで移動する。点Qは点Pと同時にAを出発し、点Pと同じ速さで辺AD上をDまで移動し、Dで停止する。点PがAを出発してからx秒後の三角形APQの面積をy cm²とする。 (1) 点Pが辺AB、BC、CD上にあるとき、それぞれyをxの式で表し、xの変域を求めよ。 (2) 三角形APQの面積が12cm²になるときのxの値を求めよ。

1. 問題の内容

一辺が6cmの正方形ABCDがあり、点PはAから出発し、毎秒1cmの速さで辺AB、BC、CD上をDまで移動する。点Qは点Pと同時にAを出発し、点Pと同じ速さで辺AD上をDまで移動し、Dで停止する。点PがAを出発してからx秒後の三角形APQの面積をy cm²とする。

(1) 点Pが辺AB、BC、CD上にあるとき、それぞれyをxの式で表し、xの変域を求めよ。

(2) 三角形APQの面積が12cm²になるときのxの値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

① 辺AB上にあるとき:

点Pは辺AB上にあるので、$0 \le x \le 6$ である。AP = x cm、AQ = x cmなので、三角形APQの面積yは、

$y = \frac{1}{2} \times AP \times AQ = \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2}x^2$

よって、$y = \frac{1}{2}x^2$。 変域は$0 \le x \le 6$。

② 辺BC上にあるとき:

点Pは辺BC上にあるので、$6 < x \le 12$ である。APを底辺と考えると、高さはAQとなる。AQ = 6 cm。

APの長さは、点Aから点Pまでの距離であり、6 + (x - 6) = x cm。

しかし、三角形APQの面積を求める場合、AQを底辺と考え、頂点PからAQに下ろした垂線の長さはABの長さに等しくなる。AQ = x cm。このとき、三角形APQの面積は、

$y = \frac{1}{2} \times AQ \times AB = \frac{1}{2} \times x \times 6 = 3x$

ただし、QがDに到達するのはx=6のときなので、点PがBC上に存在するのは$6 < x \le 12$の範囲となる。

したがって、$y = 18$ (AQ=6で固定される)。変域は$6 < x \le 12$。

このときの三角形APQの面積は、$y = \frac{1}{2} \times AQ \times AB = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$。 変域は$6 < x \le 12$。

③ 辺CD上にあるとき:

点Pは辺CD上にあるので、$12 < x \le 18$ である。AD = 6 cm, DQ = 18 - x (cm)。

$AQ = AD = 6$である。点PからAQに下ろした垂線の長さはAD=6なので、PCの長さで考える。 PC = x - 12となる。三角形APQの面積は、正方形ABCDの面積から三角形APQを除いた他の三角形の面積を引くことで求められる。

$y = \frac{1}{2} \times AQ \times (BC - PC) = \frac{1}{2} \times 6 \times (18 - x) = 3(18 - x) = 54 - 3x$

したがって、$y = 54 - 3x$。変域は$12 < x \le 18$。

(2)

① 辺AB上にあるとき：

$\frac{1}{2}x^2 = 12$

$x^2 = 24$

$x = \pm\sqrt{24} = \pm2\sqrt{6}$

$0 \le x \le 6$ なので、$x = 2\sqrt{6} \approx 4.9$

② 辺BC上にあるとき：

$y = 18 \ne 12$ なので、面積が12cm²になることはない。

③ 辺CD上にあるとき：

$54 - 3x = 12$

$3x = 42$

$x = 14$

$12 < x \le 18$ なので、$x = 14$

3. 最終的な答え

(1)

① 辺AB上にあるとき：$y = \frac{1}{2}x^2$、変域は$0 \le x \le 6$

② 辺BC上にあるとき：$y = 18$、変域は$6 < x \le 12$

③ 辺CD上にあるとき：$y = 54 - 3x$、変域は$12 < x \le 18$

(2) $x = 2\sqrt{6}, 14$