円 $x^2 + y^2 = 50$ の接線が、以下の条件を満たすとき、その接線の方程式と接点の座標を求める。 (1) 直線 $x + y = 1$ に平行 (2) 直線 $7x + y = -2$ に垂直

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 50$ の接線が、以下の条件を満たすとき、その接線の方程式と接点の座標を求める。

(1) 直線 $x + y = 1$ に平行

(2) 直線 $7x + y = -2$ に垂直

2. 解き方の手順

(1)

直線 $x+y=1$ に平行な直線の傾きは $-1$ である。よって、求める接線の方程式は $y = -x + k$ と表せる。

これを円の方程式に代入すると、$x^2 + (-x + k)^2 = 50$

$x^2 + x^2 - 2kx + k^2 = 50$

$2x^2 - 2kx + k^2 - 50 = 0$

接線であるためには、この二次方程式が重解を持つ必要がある。つまり、判別式 $D = 0$ である必要がある。

$D = (-2k)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (k^2 - 50) = 4k^2 - 8k^2 + 400 = -4k^2 + 400$

$-4k^2 + 400 = 0$ より $k^2 = 100$, よって $k = \pm 10$

$k = 10$ のとき、接線の方程式は $y = -x + 10$, すなわち $x + y = 10$

$2x^2 - 20x + 100 - 50 = 0$, $2x^2 - 20x + 50 = 0$, $x^2 - 10x + 25 = 0$, $(x - 5)^2 = 0$, $x = 5$

$x = 5$ を $y = -x + 10$ に代入すると $y = -5 + 10 = 5$

よって接点の座標は $(5, 5)$

$k = -10$ のとき、接線の方程式は $y = -x - 10$, すなわち $x + y = -10$

$2x^2 + 20x + 100 - 50 = 0$, $2x^2 + 20x + 50 = 0$, $x^2 + 10x + 25 = 0$, $(x + 5)^2 = 0$, $x = -5$

$x = -5$ を $y = -x - 10$ に代入すると $y = 5 - 10 = -5$

よって接点の座標は $(-5, -5)$

(2)

直線 $7x+y=-2$ に垂直な直線の傾きは $\frac{1}{7}$ である。よって、求める接線の方程式は $y = \frac{1}{7}x + k$ と表せる。

これを円の方程式に代入すると、$x^2 + (\frac{1}{7}x + k)^2 = 50$

$x^2 + \frac{1}{49}x^2 + \frac{2}{7}kx + k^2 = 50$

$49x^2 + x^2 + 14kx + 49k^2 = 2450$

$50x^2 + 14kx + 49k^2 - 2450 = 0$

接線であるためには、この二次方程式が重解を持つ必要がある。つまり、判別式 $D = 0$ である必要がある。

$D = (14k)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (49k^2 - 2450) = 196k^2 - 200(49k^2 - 2450) = 196k^2 - 9800k^2 + 490000 = -9604k^2 + 490000$

$-9604k^2 + 490000 = 0$ より $9604k^2 = 490000$, $k^2 = \frac{490000}{9604} = \frac{2500}{49}$

$k = \pm \frac{50}{7}$

$k = \frac{50}{7}$ のとき、接線の方程式は $y = \frac{1}{7}x + \frac{50}{7}$, すなわち $x - 7y + 50 = 0$

$50x^2 + 14 \cdot \frac{50}{7} x + 49 (\frac{50}{7})^2 - 2450 = 0$, $50x^2 + 100x + 49 \cdot \frac{2500}{49} - 2450 = 0$, $50x^2 + 100x + 2500 - 2450 = 0$, $50x^2 + 100x + 50 = 0$, $x^2 + 2x + 1 = 0$, $(x+1)^2 = 0$, $x = -1$

$x = -1$ を $y = \frac{1}{7}x + \frac{50}{7}$ に代入すると $y = \frac{-1}{7} + \frac{50}{7} = \frac{49}{7} = 7$

よって接点の座標は $(-1, 7)$

$k = -\frac{50}{7}$ のとき、接線の方程式は $y = \frac{1}{7}x - \frac{50}{7}$, すなわち $x - 7y - 50 = 0$

$50x^2 - 100x + 50 = 0$, $x^2 - 2x + 1 = 0$, $(x-1)^2 = 0$, $x = 1$

$x = 1$ を $y = \frac{1}{7}x - \frac{50}{7}$ に代入すると $y = \frac{1}{7} - \frac{50}{7} = \frac{-49}{7} = -7$

よって接点の座標は $(1, -7)$

3. 最終的な答え

(1)

接線の方程式: $x + y = 10$, 接点の座標: $(5, 5)$

接線の方程式: $x + y = -10$, 接点の座標: $(-5, -5)$

(2)

接線の方程式: $x - 7y + 50 = 0$, 接点の座標: $(-1, 7)$

接線の方程式: $x - 7y - 50 = 0$, 接点の座標: $(1, -7)$