右図において、以下の線分の長さの比を求めます。 (1) $BR:RC$ (2) $BC:CS$ (3) $AO:OR$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

右図において、以下の線分の長さの比を求めます。

(1) $BR:RC$

(2) $BC:CS$

(3) $AO:OR$

2. 解き方の手順

(1) $BR:RC$ について：

メネラウスの定理を三角形 $BCS$ と直線 $AR$ に適用します。

$$\frac{BR}{RC} \cdot \frac{CA}{AS} \cdot \frac{SQ}{QB} = 1$$

$CA = 6+2=8$ および $AS = 6+3=9$です。 $QB = 4+2=6$ および $SQ = 3$ なので、$BQ/QS = 6/3 = 2$

$$\frac{BR}{RC} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{6} = 1$$

$$\frac{BR}{RC} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{2} = 1$$

$$\frac{BR}{RC} = \frac{9}{4}$$

(2) $BC:CS$について：

$BC = BR+RC$ なので、$BR=9x, RC=4x$とおくと、$BC = 13x$。

$CS$ は問題に与えられた数値より、$CS=3$となります。問題文より $CS$ は $3$ です。メネラウスの定理を三角形$ARS$と直線$BC$に適用すると、

$\frac{AO}{OR} \cdot \frac{RC}{CS} \cdot \frac{SB}{BA} = 1$

メネラウスの定理を三角形$ABS$と直線$CR$に適用すると、

$\frac{BR}{RA} \cdot \frac{AQ}{QS} \cdot \frac{SC}{CB} = 1$

ここで、$\frac{AQ}{QS} = \frac{6}{3} = 2$

(1)で $\frac{BR}{RC} = \frac{9}{4}$だったので、$\frac{RC}{BR} = \frac{4}{9}$

$$\frac{RC}{CS} \cdot \frac{SB}{BA} \cdot \frac{AO}{OR}=1$$

三角形$ABC$と直線$AO$に対してチェバの定理より

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{AP}{PB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\frac{CQ}{QA} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

よって、

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{BR}{RC} = 4$

メネラウスの定理を三角形ACSと直線BOに対して適用すると、

$\frac{AO}{OR} \cdot \frac{RB}{BC} \cdot \frac{CS}{SA} = 1$

$\frac{BC}{CS} = \frac{BC}{3}$

$BC:CS=13:3$

(3) $AO:OR$について：

メネラウスの定理を三角形BCSと直線ARに適用します。

$\frac{BR}{RC} \times \frac{CA}{AS} \times \frac{SO}{OB} = 1$

$\frac{AO}{OR} = \frac{AP}{PB} \frac{BQ}{QS} = 1$

$\frac{AO}{OR} = \frac{BP}{PA} \cdot \frac{RC}{CB}$

3. 最終的な答え

(1) $BR:RC = 9:4$

(2) $BC:CS = 13:3$

(3) $AO:OR = 4:3$