円 $x^2 + y^2 = 2$ と以下の直線との位置関係（交わる、接するなど）を調べ、共有点がある場合は、その座標を求める。 (1) $y = x$ (2) $y = x - 2$ (3) $y = x + 3$

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 2$ と以下の直線との位置関係（交わる、接するなど）を調べ、共有点がある場合は、その座標を求める。

(1) $y = x$

(2) $y = x - 2$

(3) $y = x + 3$

2. 解き方の手順

円と直線の位置関係を調べるには、直線の方程式を円の方程式に代入し、得られた2次方程式の判別式を調べればよい。

(1) $y = x$ の場合

$x^2 + y^2 = 2$ に $y = x$ を代入すると、

$x^2 + x^2 = 2$

$2x^2 = 2$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

$x = 1$ のとき $y = 1$

$x = -1$ のとき $y = -1$

したがって、共有点は $(1, 1)$ と $(-1, -1)$ の2点。

(2) $y = x - 2$ の場合

$x^2 + y^2 = 2$ に $y = x - 2$ を代入すると、

$x^2 + (x - 2)^2 = 2$

$x^2 + x^2 - 4x + 4 = 2$

$2x^2 - 4x + 2 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$

$x = 1$ のとき $y = 1 - 2 = -1$

したがって、共有点は $(1, -1)$ の1点。

(3) $y = x + 3$ の場合

$x^2 + y^2 = 2$ に $y = x + 3$ を代入すると、

$x^2 + (x + 3)^2 = 2$

$x^2 + x^2 + 6x + 9 = 2$

$2x^2 + 6x + 7 = 0$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 36 - 56 = -20 < 0$

したがって、共有点はない。

3. 最終的な答え

(1) 交わる。共有点の座標は $(1, 1)$, $(-1, -1)$

(2) 接する。共有点の座標は $(1, -1)$

(3) 共有点なし。