空間内の4点 $O(0,0,0)$, $A(-1, 1, a)$, $B(-2, -1, \sqrt{2})$, $C(4, 5, -\sqrt{2})$ が同一平面上にあるような $a$ の値を求め、ベクトル $\overrightarrow{OA}$ が $x$ 軸の正の向きとなす角 $\theta \in [0, \pi]$ を求める。

1. 問題の内容

空間内の4点 $O(0,0,0)$, $A(-1, 1, a)$, $B(-2, -1, \sqrt{2})$, $C(4, 5, -\sqrt{2})$ が同一平面上にあるような $a$ の値を求め、ベクトル $\overrightarrow{OA}$ が $x$ 軸の正の向きとなす角 $\theta \in [0, \pi]$ を求める。

2. 解き方の手順

同一平面上にある条件は、ベクトル $\overrightarrow{OB}$ と $\overrightarrow{OC}$ が一次独立であり、かつ $\overrightarrow{OA}$ が $\overrightarrow{OB}$ と $\overrightarrow{OC}$ の線形結合で表せることである。つまり、実数 $s, t$ が存在して、

$\overrightarrow{OA} = s\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC}$

と表せる。

$\overrightarrow{OA} = (-1, 1, a)$

$\overrightarrow{OB} = (-2, -1, \sqrt{2})$

$\overrightarrow{OC} = (4, 5, -\sqrt{2})$

したがって、

$(-1, 1, a) = s(-2, -1, \sqrt{2}) + t(4, 5, -\sqrt{2})$

が成立する。これは以下の連立方程式と同値である。

$-1 = -2s + 4t$

$1 = -s + 5t$

$a = \sqrt{2}s - \sqrt{2}t$

最初の2式から $s$ と $t$ を求める。

第2式から $s = 5t - 1$

これを第1式に代入すると、

$-1 = -2(5t - 1) + 4t$

$-1 = -10t + 2 + 4t$

$-3 = -6t$

$t = \frac{1}{2}$

よって、

$s = 5(\frac{1}{2}) - 1 = \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}$

$a = \sqrt{2}s - \sqrt{2}t = \sqrt{2}(\frac{3}{2}) - \sqrt{2}(\frac{1}{2}) = \sqrt{2}(\frac{3}{2} - \frac{1}{2}) = \sqrt{2}(\frac{2}{2}) = \sqrt{2}$

よって、$a = \sqrt{2}$

次に、$\overrightarrow{OA} = (-1, 1, \sqrt{2})$ が $x$ 軸の正の向きとなす角 $\theta$ を求める。

$\overrightarrow{OA}$ と $x$ 軸の正の向きを表す単位ベクトル $\overrightarrow{e_x} = (1, 0, 0)$ の内積を考える。

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{e_x} = |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{e_x}| \cos{\theta}$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{e_x} = (-1)(1) + (1)(0) + (\sqrt{2})(0) = -1$

$|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2$

$|\overrightarrow{e_x}| = 1$

$-1 = 2(1) \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = -\frac{1}{2}$

$\theta \in [0, \pi]$ より、 $\theta = \frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{2}$

$\theta = \frac{2\pi}{3}$