問題は2つの部分から構成されています。 (1) 三角柱ABC-DEFにおいて、線分MNとねじれの位置にある辺の数を求めます。ここで、AB = AC = 6 cm, AD = 8 cm, ∠BAC = ∠BAD = ∠CAD = 90°です。また、Mは辺ACの中点であり、Nは点Mを通り辺ABに平行な直線と辺BCとの交点です。 (2) 図2において、辺DAをAの方向に延長した直線と線分FMをMの方向に延長した直線との交点をG、辺EBをBの方向に延長した直線と線分FNをNの方向に延長した直線との交点をHとします。このとき、5つの面AMG、BNH、ABNM、GHBA、GHNMで囲まれた立体の体積を求めます。

1. 問題の内容

問題は2つの部分から構成されています。

(1) 三角柱ABC-DEFにおいて、線分MNとねじれの位置にある辺の数を求めます。ここで、AB = AC = 6 cm, AD = 8 cm, ∠BAC = ∠BAD = ∠CAD = 90°です。また、Mは辺ACの中点であり、Nは点Mを通り辺ABに平行な直線と辺BCとの交点です。

(2) 図2において、辺DAをAの方向に延長した直線と線分FMをMの方向に延長した直線との交点をG、辺EBをBの方向に延長した直線と線分FNをNの方向に延長した直線との交点をHとします。このとき、5つの面AMG、BNH、ABNM、GHBA、GHNMで囲まれた立体の体積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) ねじれの位置にある辺を求める手順

線分MNとねじれの位置にある辺とは、平行でなく、交わらない辺のことです。

* MNは底面ABC上の線分なので、底面ABC上の辺AB, BC, CAとは交わらないですが、MNはABに平行なのでABとはねじれの位置ではありません。

* MNは側面ADEB, ADFC, BCFE上の辺AD, BE, CFとは交わらず、平行でもないのでねじれの位置にあります。

* MNは底面DEFと平行でも交わらないので、DE, EF, DFともねじれの位置にあります。

したがって、MNとねじれの位置にある辺はAD、BE、CF、DE、EF、DFの6本です。

(2) 立体の体積を求める手順

まず、立体AMG-BNHの形状を把握します。底面ABNMは台形であり、高さはAGとBHによって決まります。

MはACの中点であり、MNはABに平行なので、NはBCの中点となります。また、AG = DA = 8 cm、BH = EB = 8 cmです。

台形ABNMの面積を計算します。AB = 6 cm、MN = 3 cm、高さはANであり、ANはABとACが直角な二等辺三角形ABCの斜辺の半分なので$AN = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} cm$。

台形ABNMの面積 = $\frac{1}{2} (AB + MN) \times AN = \frac{1}{2} (6 + 3) \times 3\sqrt{2} = \frac{27\sqrt{2}}{2}$。

立体AMG-BNHの体積は、台形ABNMを底面とし、高さが（AG + BH）/ 2 = 8 cmの柱体の体積に等しくなります。

したがって、立体の体積 = 台形ABNMの面積 × 高さ = $\frac{27\sqrt{2}}{2} \times 8 = 108 \sqrt{2}$ 。

ところが、この計算方法は間違っています。求める立体は四角錐台を2つ組み合わせたような形になります。

立体AMG-BNHの体積を求めるには、まず、四角柱ABC-DEFの体積を求め、そこから余分な部分を引くことを考えます。

四角柱の体積 = 底面積 × 高さ = ($\frac{1}{2} \times 6 \times 6$) × 8 = 144。

AMG-BNHで囲まれた立体の体積は、三角錐G-AMNと三角錐H-BNMを足したもので、これは、三角錐D-AFMと三角錐E-BFNを足したものと相似です。

求める立体の体積 = $\frac{1}{2}$ × 四角柱ABC-DEFの体積

= $\frac{1}{2}$ × 144 = 72

3. 最終的な答え

(問1) 6

(問2) 72