一辺の長さが3の正四面体OABCがある。辺OC上にOD=1となる点D, 辺OB上にOE=3/4となる点Eをとる。 (1) $\triangle ABC$の外接円の半径を求めよ。また、点Oから平面ABCに垂線を下ろし、平面ABCとの交点をHとする。線分OHの長さを求めよ。 (2) 四面体OAEDの体積を求めよ。 (3) $\cos \angle AED$の値を求めよ。また、点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さを求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、丁寧に解答を導きます。

1. 問題の内容

一辺の長さが3の正四面体OABCがある。辺OC上にOD=1となる点D, 辺OB上にOE=3/4となる点Eをとる。

(1) $\triangle ABC$の外接円の半径を求めよ。また、点Oから平面ABCに垂線を下ろし、平面ABCとの交点をHとする。線分OHの長さを求めよ。

(2) 四面体OAEDの体積を求めよ。

(3) $\cos \angle AED$の値を求めよ。また、点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$について

$\triangle ABC$は一辺の長さが3の正三角形である。

$\triangle ABC$の外接円の半径をRとすると、正弦定理より

$\frac{3}{\sin 60^\circ} = 2R$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$2R = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$

$R = \sqrt{3}$

次に、点Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hについて考える。

正四面体OABCにおいて、Hは$\triangle ABC$の重心に一致する。

したがって、AHは外接円の半径に等しく、AH = $\sqrt{3}$である。

$\triangle OAH$は直角三角形であり、$OA=3$なので、三平方の定理より、

$OH^2 + AH^2 = OA^2$

$OH^2 + (\sqrt{3})^2 = 3^2$

$OH^2 + 3 = 9$

$OH^2 = 6$

$OH = \sqrt{6}$

(2) 四面体OAEDの体積について

四面体OABCの体積をVとすると、

$V = \frac{1}{3} \times \triangle ABC \times OH = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 \times \sqrt{6} = \frac{9\sqrt{18}}{12} = \frac{9 \times 3\sqrt{2}}{12} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

四面体OAEDの体積V'は、

$V' = \frac{OD}{OC} \times \frac{OE}{OB} \times V = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{9\sqrt{2}}{4} = \frac{27\sqrt{2}}{48} = \frac{9\sqrt{2}}{16}$

(3) $\cos \angle AED$の値について

$\triangle OBE$において、$OB=3$, $OE=\frac{3}{4}$

$\triangle ODC$において、$OC=3$, $OD=1$

$\triangle OED$において、$OE = \frac{3}{4}$, $OD=1$

$DE^2 = OD^2 + OE^2 - 2 OD \times OE \cos \angle DOE$

$\angle DOE = 60^\circ$であるから、$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$DE^2 = 1^2 + (\frac{3}{4})^2 - 2 \times 1 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = 1 + \frac{9}{16} - \frac{3}{4} = \frac{16+9-12}{16} = \frac{13}{16}$

$DE = \frac{\sqrt{13}}{4}$

$AE^2 = OA^2 + OE^2 - 2 OA \times OE \cos 60^\circ = 3^2 + (\frac{3}{4})^2 - 2 \times 3 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = 9 + \frac{9}{16} - \frac{9}{4} = \frac{144+9-36}{16} = \frac{117}{16}$

$AE = \frac{3\sqrt{13}}{4}$

$AD^2 = OA^2 + OD^2 - 2 OA \times OD \cos 60^\circ = 3^2 + 1^2 - 2 \times 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = 9 + 1 - 3 = 7$

$AD = \sqrt{7}$

$\cos \angle AED = \frac{AE^2 + DE^2 - AD^2}{2 AE \times DE} = \frac{\frac{117}{16} + \frac{13}{16} - 7}{2 \times \frac{3\sqrt{13}}{4} \times \frac{\sqrt{13}}{4}} = \frac{\frac{130}{16} - \frac{112}{16}}{\frac{6 \times 13}{16}} = \frac{18}{6 \times 13} = \frac{3}{13}$

点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さをhとする。

$\triangle AED$の面積をSとすると、

$S = \frac{1}{2} AE \times DE \sin \angle AED$

$\sin^2 \angle AED = 1 - \cos^2 \angle AED = 1 - (\frac{3}{13})^2 = 1 - \frac{9}{169} = \frac{160}{169}$

$\sin \angle AED = \frac{\sqrt{160}}{13} = \frac{4\sqrt{10}}{13}$

$S = \frac{1}{2} \times \frac{3\sqrt{13}}{4} \times \frac{\sqrt{13}}{4} \times \frac{4\sqrt{10}}{13} = \frac{3 \times 13 \times 4 \sqrt{10}}{2 \times 4 \times 4 \times 13} = \frac{3\sqrt{10}}{8}$

四面体OAEDの体積は$\frac{1}{3} \times S \times h$とも表せるので、

$\frac{1}{3} \times \frac{3\sqrt{10}}{8} \times h = \frac{9\sqrt{2}}{16}$

$\frac{\sqrt{10}}{8} h = \frac{9\sqrt{2}}{16}$

$h = \frac{9\sqrt{2}}{16} \times \frac{8}{\sqrt{10}} = \frac{9\sqrt{2}}{2\sqrt{10}} = \frac{9}{2\sqrt{5}} = \frac{9\sqrt{5}}{10}$

3. 最終的な答え

(1) 外接円の半径: $\sqrt{3}$, OHの長さ: $\sqrt{6}$

(2) 四面体OAEDの体積: $\frac{9\sqrt{2}}{16}$

(3) $\cos \angle AED$: $\frac{3}{13}$, 点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さ: $\frac{9\sqrt{5}}{10}$