三角形ABCにおいて、点Dは辺ACの中点、点Eは辺AB上にある。直線ED上にED:DF = 2:7 となるように点Fをとる。三角形FEBと四角形DEBCの面積が等しくなるとき、AE:EBを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Dは辺ACの中点、点Eは辺AB上にある。直線ED上にED:DF = 2:7 となるように点Fをとる。三角形FEBと四角形DEBCの面積が等しくなるとき、AE:EBを求めよ。

2. 解き方の手順

三角形ABCの面積をSとする。

三角形FEBの面積と四角形DEBCの面積が等しいので、三角形FEBの面積はS/2である。

ここで、三角形AEDと三角形FECの面積は等しいので、三角形AEBの面積と三角形BECの面積は等しい。つまり、AE:EC = BE:EA である。

AE = a、EB = bとおくと、AC = AD + DC = 2AD となるので、AD = a + b。

$\frac{ED}{DF} = \frac{2}{7}$より、$ED = 2k$、$DF = 7k$ ($k$は定数)とおける。

三角形FEBの面積がS/2であることから、三角形AEFの面積は、三角形AEBの面積の (ED + DF) / ED 倍になっている。

三角形AEBの面積は$\frac{b}{a+b}$ * 三角形ABCの面積 = $\frac{bS}{a+b}$。

三角形AEFの面積は$\frac{9k}{2k}$ * 三角形AEDの面積 = $\frac{9}{2}$三角形AEDの面積となる。

三角形AEDの面積は$\frac{1}{2}$ * 三角形ABEの面積 = $\frac{a}{2(a+b)}$Sとなる。

したがって、$\frac{9a}{4(a+b)}S = \frac{S}{2}$ より、$9a = 2(a+b)$。

$9a = 2a + 2b$ より $7a = 2b$。

したがって、$a:b = 2:7$。

3. 最終的な答え

AE:EB = 2:7