図1の平行四辺形ABCDにおいて、AB = 4cm, AD = 10cm である。∠ABC の二等分線と辺 AD の交点を E とし、頂点 A から線分 BE に下ろした垂線と線分 BE, 辺 BC との交点をそれぞれ F, G とする。 問1: ∠ABC = $a^\circ$ とするとき、∠BED の大きさを表す式を、選択肢ア～エの中から選び、記号で答えよ。 ア. $\frac{3}{2}a$ 度 イ. $(90 + \frac{a}{2})$ 度 ウ. $(180 - a)$ 度 エ. $(180 - \frac{a}{2})$ 度 問2: △ABF ≡ △GBF であることを証明せよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

図1の平行四辺形ABCDにおいて、AB = 4cm, AD = 10cm である。∠ABC の二等分線と辺 AD の交点を E とし、頂点 A から線分 BE に下ろした垂線と線分 BE, 辺 BC との交点をそれぞれ F, G とする。

問1: ∠ABC = $a^\circ$ とするとき、∠BED の大きさを表す式を、選択肢ア～エの中から選び、記号で答えよ。

ア. $\frac{3}{2}a$ 度

イ. $(90 + \frac{a}{2})$ 度

ウ. $(180 - a)$ 度

エ. $(180 - \frac{a}{2})$ 度

問2: △ABF ≡ △GBF であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

問1:

平行四辺形なので、$AD // BC$ である。よって、錯角は等しいので、∠AEB = ∠EBC である。

また、BE は ∠ABC の二等分線なので、∠ABE = ∠EBC である。

したがって、∠AEB = ∠ABE となり、△ABE は二等辺三角形である。

∠ABC = $a^\circ$ なので、∠ABE = ∠EBC = $\frac{a}{2}^\circ$ である。

△ABE において、∠AEB = $\frac{a}{2}^\circ$ である。

次に、∠BED を求める。∠AEB + ∠BED = $180^\circ$ なので、

∠BED = $180^\circ$ - ∠AEB = $180^\circ - \frac{a}{2}^\circ$

したがって、∠BED の大きさを表す式は、工. $(180 - \frac{a}{2})$ 度である。

問2:

△ABF と △GBF において、

AF ⊥ BE より、∠AFB = ∠GFB = $90^\circ$ ...(1)

BF は共通なので、BF = BF ...(2)

BE は ∠ABC の二等分線なので、∠ABF = ∠GBF ...(3)

(1)(2)(3)より、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、△ABF ≡ △GBF である。

3. 最終的な答え

問1: エ

問2: △ABF と △GBF において、

∠AFB = ∠GFB = $90^\circ$

BF = BF

∠ABF = ∠GBF

よって、△ABF ≡ △GBF