$\sqrt{\frac{48a}{7}}$ が整数となるような2桁の整数 $a$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{48a}{7}}$ が整数となるような2桁の整数 $a$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$48$を素因数分解します。$48 = 2^4 \times 3$ です。

与えられた式は $\sqrt{\frac{2^4 \times 3 \times a}{7}}$ となります。

$\sqrt{\frac{48a}{7}}$ が整数になるためには、$\frac{48a}{7}$ がある整数の二乗でなければなりません。したがって、$k$を整数として、

$\frac{48a}{7} = k^2$

と書けます。

$48a = 7k^2$

$2^4 \times 3 \times a = 7k^2$

$a = \frac{7k^2}{2^4 \times 3} = \frac{7k^2}{16 \times 3} = \frac{7k^2}{48}$

$a$が整数であるためには、$7k^2$が$48$で割り切れなければなりません。$48 = 2^4 \times 3$ であり、$7$は$48$の約数ではないので、$k^2$が$2^4 \times 3$で割り切れる必要があります。つまり、$k^2$は$48$の倍数でなければなりません。

$k^2 = 48n = 2^4 \times 3 \times n$（$n$は整数）と書けます。

$k$が整数になるためには、$n$は $3m^2$ （$m$は整数）の形でなければなりません。したがって、

$k^2 = 2^4 \times 3^2 \times m^2$

$k = 2^2 \times 3 \times m = 12m$

$a = \frac{7k^2}{48} = \frac{7 \times (12m)^2}{48} = \frac{7 \times 144m^2}{48} = 7 \times 3m^2 = 21m^2$

$a$ は2桁の整数なので、$10 \le a \le 99$ を満たす必要があります。

$10 \le 21m^2 \le 99$

$\frac{10}{21} \le m^2 \le \frac{99}{21}$

$\frac{10}{21} \le m^2 \le \frac{33}{7} \approx 4.71$

$m$は整数なので、$m^2$は平方数である必要があります。

$m^2$が取りうる値は1, 4です。

$m^2=1$のとき、$m = \pm 1$ であり、$a = 21 \times 1 = 21$

$m^2=4$のとき、$m = \pm 2$ であり、$a = 21 \times 4 = 84$

したがって、条件を満たす$a$は$21$と$84$です。

3. 最終的な答え

21, 84