正十角形について、以下の数を求めます。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 対角線の本数

1. 問題の内容

正十角形について、以下の数を求めます。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 正十角形の10個の頂点から3個を選ぶ組み合わせの数が三角形の個数になります。組み合わせの数は$_{10}C_3$で計算できます。

$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

(2) 正十角形の10個の頂点から2個を選ぶ組み合わせの数が、線分の総数になります。その中には正十角形の辺も含まれていますので、辺の数（10本）を引けば、対角線の本数になります。

10個の頂点から2個を選ぶ組み合わせは$_{10}C_2$で計算できます。

$_{10}C_2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 5 \times 9 = 45$

したがって、対角線の本数は$45 - 10 = 35$となります。

3. 最終的な答え

(1) 120個

(2) 35本