多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが8、$x+2$ で割ると余りが2である。$P(x)$ を $x^2 + x - 2$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが8、$x+2$ で割ると余りが2である。$P(x)$ を $x^2 + x - 2$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + x - 2$ を因数分解すると $(x-1)(x+2)$ となる。

$P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの商を $Q(x)$ とすると、余りは1次以下の多項式 $ax + b$ で表せる。

したがって、

$P(x) = (x-1)(x+2)Q(x) + ax + b$

ここで、

$P(1) = (1-1)(1+2)Q(1) + a(1) + b = a + b$

$P(-2) = (-2-1)(-2+2)Q(-2) + a(-2) + b = -2a + b$

剰余の定理より、

$P(1) = 8$

$P(-2) = 2$

したがって、

$a + b = 8$

$-2a + b = 2$

この連立方程式を解く。

下の式から上の式を引くと、

$(-2a + b) - (a + b) = 2 - 8$

$-3a = -6$

$a = 2$

$a + b = 8$ に $a=2$ を代入すると、

$2 + b = 8$

$b = 6$

したがって、求める余りは $2x + 6$

3. 最終的な答え

$2x+6$