複素数の割り算 $\frac{2+i}{3-4i}$ を計算し、簡約化せよ。

1. 問題の内容

複素数の割り算 $\frac{2+i}{3-4i}$ を計算し、簡約化せよ。

2. 解き方の手順

複素数の割り算では、分母の共役複素数を分母と分子の両方にかけることで、分母を実数にします。

分母 $3-4i$ の共役複素数は $3+4i$ です。

したがって、

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\frac{2+i}{3-4i} = \frac{(2+i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}

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分子を展開します。

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(2+i)(3+4i) = 2(3) + 2(4i) + i(3) + i(4i) = 6 + 8i + 3i + 4i^2 = 6 + 11i - 4 = 2 + 11i

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分母を展開します。

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(3-4i)(3+4i) = 3^2 - (4i)^2 = 9 - 16i^2 = 9 + 16 = 25

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したがって、

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\frac{2+i}{3-4i} = \frac{2+11i}{25} = \frac{2}{25} + \frac{11}{25}i

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3. 最終的な答え

$\frac{2}{25} + \frac{11}{25}i$