関数 $y = x^2 - 2x + 6$ の $a \le x \le a+2$ における最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2x + 6$ の $a \le x \le a+2$ における最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + 6 = (x-1)^2 + 5$

このグラフは、頂点が $(1, 5)$ で、下に凸の放物線です。

次に、定義域 $a \le x \le a+2$ と軸 $x=1$ の位置関係を考えます。

(i) $a+2 < 1$ のとき ($a < -1$)

定義域は $x=1$ より左側にあり、定義域内で $x$ が大きいほど $y$ は大きくなります。したがって、$x = a+2$ で最大値をとります。

最大値は $y = (a+2)^2 - 2(a+2) + 6 = a^2 + 4a + 4 - 2a - 4 + 6 = a^2 + 2a + 6$

(ii) $a \le 1 \le a+2$ のとき ($-1 \le a \le 1$)

定義域に $x=1$ が含まれるので、定義域の端点である$a$ または $a+2$ で最大値をとります。

$x=a$ のとき $y = a^2 - 2a + 6$

$x=a+2$ のとき $y = (a+2)^2 - 2(a+2) + 6 = a^2 + 2a + 6$

この2つの値のうち、大きい方が最大値です。

$a^2 + 2a + 6 - (a^2 - 2a + 6) = 4a$

したがって、

$-1 \le a \le 0$ のとき $4a \le 0$ より、 $a^2 - 2a + 6$ が最大値となります。

$0 \le a \le 1$ のとき $4a \ge 0$ より、 $a^2 + 2a + 6$ が最大値となります。

(iii) $a > 1$ のとき

定義域は $x=1$ より右側にあり、定義域内で $x$ が小さいほど $y$ は大きくなります。したがって、$x=a$ で最大値をとります。

最大値は $y = a^2 - 2a + 6$

上記の結果をまとめると：

* $a < -1$ のとき、最大値は $a^2 + 2a + 6$

* $-1 \le a \le 0$ のとき、最大値は $a^2 - 2a + 6$

* $0 \le a \le 1$ のとき、最大値は $a^2 + 2a + 6$

* $a > 1$ のとき、最大値は $a^2 - 2a + 6$

選択肢から、場合分けの境界が異なるため、より簡単な場合分けで考える必要があります。

$x=a$ で最大値を取るのは $a+2 \le 1$ つまり $a \le -1$ のときなので、最大値は $a^2-2a+6$ です。

$x=a+2$ で最大値を取るのは $a \ge 1$ のときなので、最大値は $a^2+2a+6$ です。

$-1< a < 1$ の場合は、場合分けが必要になります。軸が範囲内に入っている場合、端の点との大小を比較する必要があります。

結局、$a<1$ であれば$a^2+2a+6$または$a^2-2a+6$であり、$a \ge 1$ であれば$a^2+2a+6$または$a^2-2a+6$なので、選択肢を一つずつ確認していくことになります。

$a=1$のとき、$a^2 - 2a + 6=5$、$a^2 + 2a + 6=9$

$a=-1$のとき、$a^2 - 2a + 6=9$、$a^2 + 2a + 6=5$

選択肢の中で最も適切なのは「エ」です。

3. 最終的な答え

エ