多項式 $P(x)$ があり、$P(x)$ は $x-1$ で割り切れ、$x+2$ で割った余りが $9$ である。ただし、$P(x)$ のすべての項の係数は実数である。 (1) $P(1)$, $P(-2)$ の値をそれぞれ求めよ。 (2) $P(x)$ を $x^2+x-2$ で割った余りを求めよ。 (3) $P(x)$ は3次の項の係数が1である3次式であり、方程式 $P(x)=0$ が異なる実数解をちょうど2個もつ。$P(x)$ を求めよ。

## B4の問題

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ があり、$P(x)$ は $x-1$ で割り切れ、$x+2$ で割った余りが $9$ である。ただし、$P(x)$ のすべての項の係数は実数である。

(1) $P(1)$, $P(-2)$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) $P(x)$ を $x^2+x-2$ で割った余りを求めよ。

(3) $P(x)$ は3次の項の係数が1である3次式であり、方程式 $P(x)=0$ が異なる実数解をちょうど2個もつ。$P(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$P(x)$ が $x-1$ で割り切れるので、剰余の定理より $P(1)=0$

$P(x)$ を $x+2$ で割った余りが $9$ なので、剰余の定理より $P(-2)=9$

(2)

$P(x)$ を $x^2+x-2$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax+b$ とすると、

$P(x) = (x^2+x-2)Q(x) + ax+b$

$x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$ であるから、

$P(x) = (x-1)(x+2)Q(x) + ax+b$

この式に $x=1$ を代入すると、

$P(1) = a(1)+b = a+b$

$P(1) = 0$ なので、 $a+b=0$

この式に $x=-2$ を代入すると、

$P(-2) = a(-2)+b = -2a+b$

$P(-2) = 9$ なので、 $-2a+b=9$

$a+b=0$ と $-2a+b=9$ を連立して解くと、

$a=-3$, $b=3$

よって、余りは $-3x+3$

(3)

$P(x)$ は3次の項の係数が1である3次式なので、$P(x) = x^3 + cx^2 + dx + e$ （$c, d, e$ は実数）と表せる。

また、$P(x)=0$ が異なる実数解をちょうど2個持つので、$P(x)$ は重解を持つ。

$P(x)$ は $x-1$ で割り切れるので、$P(x) = (x-1)(x^2 + fx + g)$ （$f, g$ は実数）と表せる。

$P(x)=0$ が異なる実数解を2個持つので、$x^2+fx+g=0$ が $x=1$ を解に持つか、重解を持つかのいずれかである。

(i) $x^2+fx+g=0$ が $x=1$ を解に持つ場合

$1^2 + f(1) + g = 0$ より、 $f+g=-1$

このとき、$P(x) = (x-1)(x-1)(x-α) = (x-1)^2(x-α)$ ($α$ は $1$ と異なる実数) と表せる。

$P(x) = (x^2-2x+1)(x-α) = x^3 - (2+α)x^2 + (1+2α)x - α$

$P(-2) = (-2-1)^2(-2-α) = 9(-2-α) = 9$

$-2-α = 1$

$α = -3$

$P(x) = (x-1)^2(x+3) = (x^2-2x+1)(x+3) = x^3 + x^2 - 5x + 3$

(ii) $x^2+fx+g=0$ が重解を持つ場合

$x^2+fx+g = (x-h)^2$ ($h$ は実数) と表せる。

$P(x) = (x-1)(x-h)^2$

$P(-2) = (-2-1)(-2-h)^2 = -3(-2-h)^2 = 9$

$(-2-h)^2 = -3$

これを満たす実数 $h$ は存在しないので、不適。

したがって、$P(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3$

3. 最終的な答え

(1) $P(1) = 0$, $P(-2) = 9$

(2) $-3x+3$

(3) $P(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3$