与えられた数式 $\log_a(\sqrt[3]{x^2}\cdot \sqrt{y^3})$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた数式 $\log_a(\sqrt[3]{x^2}\cdot \sqrt{y^3})$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、根号を指数に変換します。

$\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt{y^3} = y^{\frac{3}{2}}$

よって、

$\log_a(\sqrt[3]{x^2}\cdot \sqrt{y^3}) = \log_a(x^{\frac{2}{3}}\cdot y^{\frac{3}{2}})$

次に、対数の積の法則 $\log_a(MN) = \log_a(M) + \log_a(N)$ を適用します。

$\log_a(x^{\frac{2}{3}}\cdot y^{\frac{3}{2}}) = \log_a(x^{\frac{2}{3}}) + \log_a(y^{\frac{3}{2}})$

最後に、対数のべき乗の法則 $\log_a(M^p) = p\log_a(M)$ を適用します。

$\log_a(x^{\frac{2}{3}}) + \log_a(y^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}\log_a(x) + \frac{3}{2}\log_a(y)$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}\log_a(x) + \frac{3}{2}\log_a(y)$