与えられた対数の式 $\log_a \frac{x^2 y^{-4}}{z}$ を、対数の性質を用いて展開しなさい。

1. 問題の内容

与えられた対数の式 $\log_a \frac{x^2 y^{-4}}{z}$ を、対数の性質を用いて展開しなさい。

2. 解き方の手順

対数の性質を用いて式を分解していきます。

まず、対数の商の性質 $\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$ を適用します。

$\log_a \frac{x^2 y^{-4}}{z} = \log_a (x^2 y^{-4}) - \log_a z$

次に、対数の積の性質 $\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$ を適用します。

$\log_a (x^2 y^{-4}) = \log_a x^2 + \log_a y^{-4}$

最後に、対数の指数の性質 $\log_a M^k = k \log_a M$ を適用します。

$\log_a x^2 = 2 \log_a x$

$\log_a y^{-4} = -4 \log_a y$

これらをまとめると、

$\log_a \frac{x^2 y^{-4}}{z} = 2 \log_a x - 4 \log_a y - \log_a z$

3. 最終的な答え

$2 \log_a x - 4 \log_a y - \log_a z$