次の3つの式をそれぞれ因数分解します。 (1) $(x+y+2)(x+y-3)+4$ (2) $12x^2+xy-6y^2-31x-2y+20$ (3) $x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)$

はい、承知いたしました。以下の通り問題を解きます。

1. 問題の内容

次の3つの式をそれぞれ因数分解します。

(1) $(x+y+2)(x+y-3)+4$

(2) $12x^2+xy-6y^2-31x-2y+20$

(3) $x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)$

2. 解き方の手順

(1) $(x+y+2)(x+y-3)+4$

$x+y=A$とおくと、

$(A+2)(A-3)+4 = A^2 - A -6 + 4 = A^2 - A -2 = (A-2)(A+1)$

ここで、$A$を$x+y$に戻すと、

$(x+y-2)(x+y+1)$

(2) $12x^2+xy-6y^2-31x-2y+20$

$x$についての二次式とみて整理します。

$12x^2+(y-31)x+(-6y^2-2y+20)$

定数項を因数分解します。

$-6y^2-2y+20 = -2(3y^2+y-10) = -2(3y-5)(y+2)$

$12x^2+(y-31)x-2(3y-5)(y+2)$を因数分解できると仮定すると、

$(ax+by+c)(dx+ey+f)$の形になるはずです。

$12x^2+xy-6y^2$の部分から、$(3x-2y)(4x+3y)$または$(6x+ay)(2x+by)$となることが予想できます。

試行錯誤の結果、$12x^2+xy-6y^2-31x-2y+20=(3x-2y-4)(4x+3y-5)$

(3) $x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)$

この式は交代式なので、$(x-y)(y-z)(z-x)$を因数として持ちます。

$x,y,z$に関して3次式なので、$(x-y)(y-z)(z-x)(ax+by+cz)$の形を考えます。

係数を比較するために、式を展開してみます。

$x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y) = -(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$

したがって、$x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)= -(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+y-2)(x+y+1)$

(2) $(3x-2y-4)(4x+3y-5)$

(3) $-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$