与えられた数 $x = \frac{4}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ の整数部分と小数部分を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数 $x = \frac{4}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ の整数部分と小数部分を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母を有利化します。

$x = \frac{4}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{4(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{1+2\sqrt{2}+2-3} = \frac{4(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{2\sqrt{2}} = \frac{2(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{\sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{2}+2+\sqrt{6})}{2} = \sqrt{2}+2+\sqrt{6}$

$\sqrt{2} \approx 1.414$

$\sqrt{6} \approx 2.449$

より、$x \approx 1.414 + 2 + 2.449 = 5.863$

したがって、整数部分は5です。

小数部分は、$x - 5 = \sqrt{2}+2+\sqrt{6} - 5 = \sqrt{2}+\sqrt{6}-3$

3. 最終的な答え

整数部分: 5

小数部分: $\sqrt{2}+\sqrt{6}-3$