以下の6つの2重根号で表された式を、2重根号を外して簡単な形にせよ。 (1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{5-2\sqrt{6}}$ (3) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$ (4) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$ (5) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$ (6) $\sqrt{6-3\sqrt{3}}$

はい、承知いたしました。2重根号を外して簡単にせよという問題ですね。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

以下の6つの2重根号で表された式を、2重根号を外して簡単な形にせよ。

(1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$

(2) $\sqrt{5-2\sqrt{6}}$

(3) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$

(4) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$

(5) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

(6) $\sqrt{6-3\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

2重根号 $\sqrt{a \pm \sqrt{b}}$ を外すには、以下の公式を利用します。

$\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$

ただし、$\sqrt{ }$ の中身が正になるように注意する必要があります。

また、$b$ の係数が 2 でない場合は、無理やり 2 を作るように変形してから適用します。

(1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ の場合

$a = 4$, $b = 3$ なので、$a^2 - b = 16 - 3 = 13$ となり、公式に当てはめるのは難しいです。

しかし、$4+2\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3}+1)^2$ なので、

$\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3}+1$

(2) $\sqrt{5-2\sqrt{6}}$ の場合

$a=5$, $b=6$ なので、$a^2-b = 25-6 = 19$ となり、公式に当てはめるのは難しいです。

しかし、$6=2 \cdot 3$ であり、$2+3=5$ なので、

$\sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{(3+2)-2\sqrt{3 \cdot 2}} = \sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$ の場合

$\sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$ より、$\sqrt{9+\sqrt{56}} = \sqrt{9+2\sqrt{14}}$

$a=9$, $b=14$ なので、$a^2-b = 81-14=67$ となり、公式に当てはめるのは難しいです。

$2+7 = 9$ であり、$2 \cdot 7 = 14$ なので、

$\sqrt{9+2\sqrt{14}} = \sqrt{(7+2)+2\sqrt{7 \cdot 2}} = \sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{7}+\sqrt{2}$

(4) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$ の場合

$\sqrt{11-6\sqrt{2}} = \sqrt{11-2\sqrt{18}}$

$a=11$, $b=18$ なので、$a^2-b = 121-18 = 103$ となり、公式に当てはめるのは難しいです。

$9+2 = 11$ であり、$9 \cdot 2 = 18$ なので、

$\sqrt{11-2\sqrt{18}} = \sqrt{(9+2)-2\sqrt{9 \cdot 2}} = \sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{(3-\sqrt{2})^2} = 3-\sqrt{2}$

(5) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$ の場合

$\sqrt{4-\sqrt{15}} = \sqrt{4-2\sqrt{\frac{15}{4}}} = \sqrt{\frac{8-2\sqrt{15}}{2}} = \frac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}$

$a=8$, $b=15$ なので、$a^2-b = 64-15=49=7^2$

よって、

$\sqrt{8-2\sqrt{15}} = \sqrt{5+3-2\sqrt{5 \cdot 3}} = \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{5}-\sqrt{3}$

$\sqrt{4-\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

(6) $\sqrt{6-3\sqrt{3}}$ の場合

$\sqrt{6-3\sqrt{3}} = \sqrt{6-\sqrt{27}} = \sqrt{6-2\sqrt{\frac{27}{4}}} = \sqrt{\frac{12-2\sqrt{27}}{2}} = \frac{\sqrt{12-2\sqrt{27}}}{\sqrt{2}}$

$a=12$, $b=27$ なので、$a^2-b = 144-27 = 117$ となり、公式に当てはめるのは難しいです。

$\sqrt{12-2\sqrt{27}} = \sqrt{9+3-2\sqrt{9 \cdot 3}} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^2} = 3-\sqrt{3}$

$\sqrt{6-3\sqrt{3}} = \frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}+1$

(2) $\sqrt{3}-\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{7}+\sqrt{2}$

(4) $3-\sqrt{2}$

(5) $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

(6) $\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$