与えられた数学と英語の小テストの得点データを用いて、散布図の作成、相関の有無の判断、表の穴埋め、相関係数の計算を行う問題です。具体的には、 (1) 横軸を数学($x$)、縦軸を英語($y$)とした散布図を作成します。 (2) 作成した散布図から、$x$と$y$の間の関係を判断し、正の相関、負の相関、相関関係がほとんどないの中から最も適切なものを選択します。 (3) $x$の平均($\bar{x}$)が4.0、$y$の平均($\bar{y}$)が5.0であるという情報を使って、表の$(x-\bar{x})^2$、$(y-\bar{y})^2$、$(x-\bar{x})(y-\bar{y})$の列を埋めます。 (4) (3)で作成した表を利用して、$x$と$y$の相関係数$r$を計算します（小数第3位を四捨五入）。

1. 問題の内容

与えられた数学と英語の小テストの得点データを用いて、散布図の作成、相関の有無の判断、表の穴埋め、相関係数の計算を行う問題です。具体的には、

(1) 横軸を数学($x$)、縦軸を英語($y$)とした散布図を作成します。

(2) 作成した散布図から、$x$と$y$の間の関係を判断し、正の相関、負の相関、相関関係がほとんどないの中から最も適切なものを選択します。

(3) $x$の平均($\bar{x}$)が4.0、$y$の平均($\bar{y}$)が5.0であるという情報を使って、表の$(x-\bar{x})^2$、$(y-\bar{y})^2$、$(x-\bar{x})(y-\bar{y})$の列を埋めます。

(4) (3)で作成した表を利用して、$x$と$y$の相関係数$r$を計算します（小数第3位を四捨五入）。

2. 解き方の手順

(1) 散布図の作成

与えられたデータ($x$, $y$)に対して、点をプロットすることで散布図を作成します。例えば、(1, 3)、(2, 2)などの点をグラフに書き込みます。

(2) 相関の有無の判断

散布図を見て、$x$が増加すると$y$が増加する傾向があるか（正の相関）、$x$が増加すると$y$が減少する傾向があるか（負の相関）、または明確な傾向が見られないか（相関関係がほとんどない）を判断します。

(3) 表の穴埋め

表の残りの部分を埋めるために、次の手順に従います。

- 各データ点$(x, y)$に対して、$(x-\bar{x})$と$(y-\bar{y})$を計算します。

- $(x-\bar{x})^2$を計算します。例えば、(1, 3)の点に対して、$x - \bar{x} = 1 - 4 = -3$なので、$(x-\bar{x})^2 = (-3)^2 = 9$となります。

- $(y-\bar{y})^2$を計算します。例えば、(1, 3)の点に対して、$y - \bar{y} = 3 - 5 = -2$なので、$(y-\bar{y})^2 = (-2)^2 = 4$となります。

- $(x-\bar{x})(y-\bar{y})$を計算します。例えば、(1, 3)の点に対して、$(x-\bar{x})(y-\bar{y}) = (-3)(-2) = 6$となります。

- 計算した値を表に記入します。

- 最後に、各列（$xy$、$(x-\bar{x})^2$、$(y-\bar{y})^2$、$(x-\bar{x})(y-\bar{y})$）の合計を計算します。

(4) 相関係数の計算

相関係数$r$は、次の式で計算できます。

$r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}$

ここで、$n$はデータの数（この場合は10）です。表から$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$、$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$、$\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2$の値を読み取り、上記の式に代入して$r$を計算します。最後に、小数第3位を四捨五入して答えを求めます。

3. 最終的な答え

(2) ①正の相関がある

(3) 表の穴埋め (合計値のみ記載):

- $\sum (x-\bar{x})^2 = 68$

- $\sum (y-\bar{y})^2 = 42$

- $\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y}) = 34$

(4) $r = \frac{34}{\sqrt{68 \times 42}} = \frac{34}{\sqrt{2856}} \approx \frac{34}{53.44} \approx 0.636$

小数第3位を四捨五入すると、0.64