20本のくじの中に当たりくじが5本ある。A, Bの2人がこの順に1本ずつくじを引く。引いたくじは元に戻さない。このとき、Aが当たる確率、Aが外れてBが当たる確率、そしてBが当たる確率をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

20本のくじの中に当たりくじが5本ある。A, Bの2人がこの順に1本ずつくじを引く。引いたくじは元に戻さない。このとき、Aが当たる確率、Aが外れてBが当たる確率、そしてBが当たる確率をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) Aが当たる確率

Aが当たる確率は、20本のうち当たりくじ5本を引く確率なので、

$P(A) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$

(2) Aが外れてBが当たる確率

Aが外れる確率は $\frac{15}{20} = \frac{3}{4}$。Aが外れた後、残りのくじは19本で、当たりくじは5本のままなので、Bが当たる確率は $\frac{5}{19}$。したがって、Aが外れてBが当たる確率は、

$P(\text{Aが外れ、Bが当たる}) = \frac{15}{20} \times \frac{5}{19} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{19} = \frac{15}{76}$

(3) Bが当たる確率

Bが当たる確率は、Aが当たってBも当たる確率と、Aが外れてBが当たる確率の和で求められる。

Aが当たってBも当たる確率は、$\frac{5}{20} \times \frac{4}{19} = \frac{1}{4} \times \frac{4}{19} = \frac{1}{19}$

Aが外れてBが当たる確率は、(2)で求めたように$\frac{15}{76}$

したがって、Bが当たる確率は、

$P(B) = \frac{1}{19} + \frac{15}{76} = \frac{4}{76} + \frac{15}{76} = \frac{19}{76} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

Aが当たる確率は $\frac{1}{4}$

Aが外れてBが当たる確率は $\frac{15}{76}$

Bが当たる確率は $\frac{1}{4}$