この問題は、場合の数、式の展開、約数の個数を求める問題です。具体的には、 (1) 数字1,2,3を使ってできる2桁の数は何個あるか。ただし、同じ数字を2度使ってもよい。 (2) 大小2つのサイコロを同時に投げるとき、目の和が4の倍数になる場合は何通りあるか。目の積が10の倍数になる場合は何通りあるか。 (3) 次の式を展開したとき、項は何個できるか。(a+b+c)(x+y) と (a+b+c)(p+q)(x+y)。 (4) 72と147の正の約数はそれぞれ何個あるか。

1. 問題の内容

この問題は、場合の数、式の展開、約数の個数を求める問題です。具体的には、

(1) 数字1,2,3を使ってできる2桁の数は何個あるか。ただし、同じ数字を2度使ってもよい。

(2) 大小2つのサイコロを同時に投げるとき、目の和が4の倍数になる場合は何通りあるか。目の積が10の倍数になる場合は何通りあるか。

(3) 次の式を展開したとき、項は何個できるか。(a+b+c)(x+y) と (a+b+c)(p+q)(x+y)。

(4) 72と147の正の約数はそれぞれ何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 2桁の数の十の位は1,2,3の3通り、一の位も1,2,3の3通りあるので、積の法則より $3 \times 3 = 9$ 通り。

(2)

(ア) 目の和が4の倍数になるのは、4, 8, 12の場合です。

和が4になるのは (1,3), (2,2), (3,1) の3通り。

和が8になるのは (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) の5通り。

和が12になるのは (6,6) の1通り。

合計すると $3+5+1 = 9$ 通り。

(イ) 目の積が10の倍数になるには、少なくとも片方のサイコロの目が5で、もう片方の目が偶数である必要があります。

大きいサイコロが5で、小さいサイコロが2,4,6のとき3通り。

小さいサイコロが5で、大きいサイコロが2,4,6のとき3通り。

したがって $3 + 3 = 6$ 通り。

(3)

(ア) $(a+b+c)(x+y)$ を展開すると、$a, b, c$ のそれぞれに $x, y$ を掛けることになるので、$3 \times 2 = 6$ 個の項ができます。

(イ) $(a+b+c)(p+q)(x+y)$ を展開すると、$a, b, c$ のそれぞれに $p, q$ を掛けて、さらに $x, y$ を掛けることになるので、$3 \times 2 \times 2 = 12$ 個の項ができます。

(4)

(ア) 72を素因数分解すると、$72 = 2^3 \times 3^2$。したがって、正の約数の個数は $(3+1)(2+1) = 4 \times 3 = 12$ 個。

(イ) 147を素因数分解すると、$147 = 3 \times 7^2$。したがって、正の約数の個数は $(1+1)(2+1) = 2 \times 3 = 6$ 個。

3. 最終的な答え

(1) 9個

(2) (1) 9通り (2) 6通り

(3) (1) 6個 (2) 12個

(4) (1) 12個 (2) 6個