定積分 $\int_{0}^{1} \log(1+x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \log(1+x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を使って解きます。

$u = \log(1+x)$ と $dv = dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{1+x} dx$ と $v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を適用すると、

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\int_{0}^{1} \log(1+x) dx = \left[ x \log(1+x) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{1+x} dx

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となります。

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\left[ x \log(1+x) \right]_{0}^{1} = 1 \cdot \log(1+1) - 0 \cdot \log(1+0) = \log 2 - 0 = \log 2

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積分 $\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x} dx$ を計算します。

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\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x} dx = \int_{0}^{1} \frac{1+x-1}{1+x} dx = \int_{0}^{1} \left( 1 - \frac{1}{1+x} \right) dx = \left[ x - \log(1+x) \right]_{0}^{1}

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= (1 - \log(1+1)) - (0 - \log(1+0)) = (1 - \log 2) - (0 - 0) = 1 - \log 2

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よって、

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\int_{0}^{1} \log(1+x) dx = \log 2 - (1 - \log 2) = 2 \log 2 - 1

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3. 最終的な答え

$2 \log 2 - 1$