関数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ について、$x$ の範囲が $\frac{1}{4} \le x < 8$ であるときの $y$ の値域を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ について、$x$ の範囲が $\frac{1}{4} \le x < 8$ であるときの $y$ の値域を求める。

2. 解き方の手順

対数関数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ は底が $\frac{1}{2}$ なので、減少関数である。つまり、$x$ が増加すると $y$ は減少する。

$x$ の範囲が $\frac{1}{4} \le x < 8$ なので、この範囲の端点での $y$ の値を計算する。

まず、$x = \frac{1}{4}$ のとき、

$y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^2 = 2$

次に、$x = 8$ のとき、

$y = \log_{\frac{1}{2}} 8 = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{-3} = -3$

$x$ が $\frac{1}{4}$ から 8 まで増加するとき、$y$ は 2 から -3 まで減少する。

したがって、$\frac{1}{4} \le x < 8$ のとき、$y$ の範囲は $-3 < y \le 2$ となる。

3. 最終的な答え

$-3 < y \le 2$