与えられた二つの定積分を計算します。 (1) $\int_{-1}^{3} \frac{1}{x^2 + 3} dx$ (2) $\int_{-1}^{2} \sqrt{|x|} dx$

1. 問題の内容

与えられた二つの定積分を計算します。

(1) $\int_{-1}^{3} \frac{1}{x^2 + 3} dx$

(2) $\int_{-1}^{2} \sqrt{|x|} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-1}^{3} \frac{1}{x^2 + 3} dx$ を計算します。

$x = \sqrt{3} \tan \theta$ と置換すると、$dx = \sqrt{3} \sec^2 \theta d\theta$ となります。

$x^2 + 3 = 3\tan^2 \theta + 3 = 3\sec^2 \theta$ となります。

したがって、積分は

$\int \frac{1}{3\sec^2 \theta} \sqrt{3} \sec^2 \theta d\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \int d\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \theta + C = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) + C$

したがって、

$\int_{-1}^{3} \frac{1}{x^2 + 3} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) \right]_{-1}^{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \arctan\left(\frac{3}{\sqrt{3}}\right) - \arctan\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right) \right]$

$= \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \arctan(\sqrt{3}) - \arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \right] = \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \frac{\pi}{3} - \left(-\frac{\pi}{6}\right) \right] = \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \right] = \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right] = \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \frac{3\pi}{6} \right] = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} = \frac{\pi \sqrt{3}}{6}$

(2) $\int_{-1}^{2} \sqrt{|x|} dx$ を計算します。絶対値があるので、積分範囲を分割します。

$\int_{-1}^{2} \sqrt{|x|} dx = \int_{-1}^{0} \sqrt{-x} dx + \int_{0}^{2} \sqrt{x} dx$

$\int \sqrt{-x} dx = -\frac{2}{3} (-x)^{3/2} + C$

$\int \sqrt{x} dx = \frac{2}{3} x^{3/2} + C$

$\int_{-1}^{0} \sqrt{-x} dx = \left[-\frac{2}{3} (-x)^{3/2}\right]_{-1}^{0} = 0 - \left(-\frac{2}{3} (-(-1))^{3/2}\right) = \frac{2}{3}$

$\int_{0}^{2} \sqrt{x} dx = \left[\frac{2}{3} x^{3/2}\right]_{0}^{2} = \frac{2}{3} (2)^{3/2} - 0 = \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

$\int_{-1}^{2} \sqrt{|x|} dx = \frac{2}{3} + \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{2 + 4\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi \sqrt{3}}{6}$

(2) $\frac{2 + 4\sqrt{2}}{3}$