関数 $y = \tan x$ を、$x = 0$ から $x = \frac{\pi}{4}$ までの区間で、$x$軸周りに回転させてできる立体の体積 $V$ を求める問題です。積分は $V = \pi \int_0^{\pi/4} \tan^2 x \, dx$ で表されます。

1. 問題の内容

関数 $y = \tan x$ を、$x = 0$ から $x = \frac{\pi}{4}$ までの区間で、$x$軸周りに回転させてできる立体の体積 $V$ を求める問題です。積分は $V = \pi \int_0^{\pi/4} \tan^2 x \, dx$ で表されます。

2. 解き方の手順

まず、$\tan^2 x$ を $\frac{1}{\cos^2 x} - 1$ に書き換えます。これは三角関数の恒等式 $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ から導かれます。

$V = \pi \int_0^{\pi/4} \tan^2 x \, dx = \pi \int_0^{\pi/4} \left( \frac{1}{\cos^2 x} - 1 \right) \, dx$

$\frac{1}{\cos^2 x}$ の積分は $\tan x$ であり、1 の積分は $x$ です。したがって、

$V = \pi \left[ \tan x - x \right]_0^{\pi/4}$

積分範囲の端点を代入します。

$V = \pi \left[ \left( \tan \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \right) - \left( \tan 0 - 0 \right) \right]$

$\tan \frac{\pi}{4} = 1$ であり、$\tan 0 = 0$ です。

$V = \pi \left[ \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) - (0 - 0) \right]$

$V = \pi \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right)$

3. 最終的な答え

$V = \pi \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right)$